Какое соотношение верно 400 па

Химическим равновесием называется такое состояние обратимой химической реакции

aA + bB = cC + dD,

при котором с течением времени не происходит изменения концентраций реагирующих веществ в реакционной смеси. Состояние химического равновесия характеризуется константой химического равновесия:

где C_i – концентрации компонентов в равновесной идеальной смеси.

Константа равновесия может быть выражена также через равновесные мольные доли X_i компонентов:

Для реакций, протекающих в газовой фазе, константу равновесия удобно выражать через равновесные парциальные давления P_i компонентов:

Для идеальных газов P_i = C_iRT и P_i = X_iP, где P – общее давление, поэтому K_P, K_C и K_X связаны следующим соотношением:

Константа равновесия связана с _rG o химической реакции:

Изменение _rG или _rF в химической реакции при заданных (не обязательно равновесных) парциальных давлениях P_i или концентрациях C_i компонентов можно рассчитать по уравнению изотермы химической реакции (изотермы Вант-Гоффа):

Согласно принципу Ле Шателье, если на систему, находящуюся в равновесии, оказать внешнее воздействие, то равновесие сместится так, чтобы уменьшить эффект внешнего воздействия. Так, повышение давления сдвигает равновесие в сторону уменьшения количества молекул газа. Добавление в равновесную смесь какого-либо компонента реакции сдвигает равновесие в сторону уменьшения количества этого компонента. Повышение (или понижение) температуры сдвигает равновесие в сторону реакции, протекающей с поглощением (выделением) теплоты.

Количественно зависимость константы равновесия от температуры описывается уравнением изобары химической реакции (изобары Вант-Гоффа)

и изохоры химической реакции (изохоры Вант-Гоффа)

Интегрирование уравнения (9.9) в предположении, что _rH реакции не зависит от температуры (что справедливо в узких интервалах температур), дает:

где C – константа интегрирования. Таким образом, зависимость ln K_P от 1/Т должна быть линейной, а наклон прямой равен –_rH /R.

Интегрирование в пределах K₁, K₂, и T_1, T₂ дает:

По этому уравнению, зная константы равновесия при двух разных температурах, можно рассчитать _rH реакции. Соответственно, зная _rH реакции и константу равновесия при одной температуре, можно рассчитать константу равновесия при другой температуре.

ПРИМЕРЫ

Пример 9-1. Рассчитать константу равновесия для реакции

при 500 K. _fG o для CO(г) и CH₃OH(г) при 500 К равны –155.41 кДж . моль –1 и –134.20 кДж . моль –1 соответственно.

Решение. G o реакции:

_rG o = _fG o (CH₃OH) – _fG o (CO) = –134.20 – (–155.41) = 21.21 кДж . моль –1 .

Пример 9-2. Константа равновесия реакции

равна K_P = 1.64 10 –4 при 400 o C. Какое общее давление необходимо приложить к эквимолярной смеси N₂ и H₂, чтобы 10% N₂ превратилось в NH₃? Газы считать идеальными.

Решение. Пусть прореагировало моль N₂. Тогда

Следовательно, K_X = и K_P = K_{X .} P –2 = .

Подставляя = 0.1 в полученную формулу, имеем

1.64 10 –4 =, откуда P = 51.2 атм.

Пример 9-3. Константа равновесия реакции

при 500 K равна K_P = 6.09 10 –3 . Реакционная смесь, состоящая из 1 моль CO, 2 моль H₂ и 1 моль инертного газа (N₂) нагрета до 500 K и общего давления 100 атм. Рассчитать состав равновесной смеси.

Решение. Пусть прореагировало моль CO. Тогда

CO(г)	+	2H₂(г)	=	CH₃OH(г)
Исходное количество:	1	2	0
Равновесное количество:	1–	2–2
Всего в равновесной смеси:	3–2 моль компонентов + 1 моль N₂ = 4–2 моль
Равновесная мольная доля

Следовательно, K_X = и K_P = K_{X .} P –2 = .

Таким образом, 6.09 10 –3 = .

Решая это уравнение, получаем = 0.732. Соответственно, мольные доли веществ в равновесной смеси равны: = 0.288, = 0.106, = 0.212 и = 0.394.

Пример 9-4. Для реакции

при 298 К K_P = 6.0 10 5 , а _fH o (NH₃) = –46.1 кДж . моль –1 . Оценить значение константы равновесия при 500 К.

Решение. Стандартная мольная энтальпия реакции равна

_rH o = 2 _fH o (NH₃) = –92.2 кДж . моль –1 .

Согласно уравнению (9.14), =

= ln (6.0 10 5 ) + = –1.73, откуда K₂ = 0.18.

Отметим, что константа равновесия экзотермической реакции уменьшается с ростом температуры, что соответствует принципу Ле Шателье.

ЗАДАЧИ

содержится 17% (по объему) CO₂. Сколько процентов CO₂ будет содержаться в газе при общем давлении 20 атм? При каком давлении в газе будет содержаться 25% CO₂?

при 500 o C равна K_p = 5.5. Смесь, состоящая из 1 моль CO и 5 моль H₂O, нагрели до этой температуры. Рассчитать мольную долю H₂O в равновесной смеси.

при 25 o C равна K_p = 0.143. Рассчитать давление, которое установится в сосуде объемом 1 л, в который поместили 1 г N₂O₄ при этой температуре.

при 250 o C _rG o = –2508 Дж . моль –1 . При каком общем давлении степень превращения PCl₅ в PCl₃ и Cl₂ при 250 o C составит 30%?

константа равновесия K_P = 1.83 10 –2 при 698.6 К. Сколько граммов HI образуется при нагревании до этой температуры 10 г I₂ и 0.2 г H₂ в трехлитровом сосуде? Чему равны парциальные давления H₂, I₂ и HI?

при 500 K равна K_P = 6.09 10 –3 . Рассчитать общее давление, необходимое для получения метанола с 90% выходом, если CO и H₂ взяты в соотношении 1: 2.

находится в равновесии при 500 K и 10 бар. Если газы идеальные, как повлияют на выход метанола следующие факторы: а) повышение T; б) повышение P; в) добавление инертного газа при V = const; г) добавление инертного газа при P = const; д) добавление H₂ при P = const?

устанавливается при 227 o C и общем давлении 1.0 бар, когда парциальное давление NOCl равно 0.64 бар (изначально присутствовал только NOCl). Рассчитать _rG o для реакции. При каком общем давлении парциальное давление Cl₂ будет равно 0.10 бар?

при 400 o C равна K = 1.60 10 –4 .

Чему будет равна степень диссоциации PCl₅, если в систему добавить N₂, чтобы парциальное давление азота было равно 0.9 атм? Общее давление поддерживается равным 1 атм.

K_p = 2.5 10 –3 . В равновесной смеси N₂, O₂, NO и инертного газа при общем давлении 1 бар содержится 80% (по объему) N₂ и 16% O₂. Сколько процентов по объему составляет NO? Чему равно парциальное давление инертного газа?

При 420 o C давление газов равно 5.16 10 4 Па, а при 450 o C 10.8 10 4 Па. Рассчитать константы равновесия при этих температурах и энтальпию диссоциации на моль HgO.

получены следующие данные по зависимости константы равновесия от температуры:

Определить стандартную энтальпию реакции в этом температурном интервале.

ln K = –1.04 –1088 /T +1.51 10 5 /T 2 .

Рассчитать _rG o , _rH o и _rS o реакции при 400 К.

Оценки скорости сходимости в предельных теоремах для совместных распределений части характеристик случайных двоичных отображений Текст научной статьи по специальности «Математика»

СЛУЧАЙНОЕ ДВОИЧНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ / ЛОКАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА / ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ / АВТОКОРРЕЛЯЦИОННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ / СПЕКТРАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ / ВЕСА ПОДФУНКЦИЙ / RANDOM BINARY MAPPING / LOCAL LIMIT THEOREM / LAW OF LARGE NUMBERS / AUTOCORRELATION COEFFICIENTS / SPECTRAL COEFFICIENTS / WEIGHTS OF SUBFUNCTION

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Панков Константин Николаевич

Исследуется предельное распределение векторов, состоящих из части спектральных и автокорреляционных коэффициентов и весов подфункций линейных комбинаций координатных функций случайной двоичной вектор-функции. Получены теоремы об асимптотической нормальности этих векторов с оценкой скорости сходимости. Получены сравнения, которым должны удовлетворять координаты этих векторов.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Speeds of convergence in limit theorems for joint distributions of some random binary mappings characteristics

For linear combinations of coordinate functions of random binary mappings, the limit joint distributions of some their autocorrelation and spectral coefficients and subfunction weights along with the speeds of convergence are obtained. Also, it is proved that these vectors satisfy some congruences.

Текст научной работы на тему «Оценки скорости сходимости в предельных теоремах для совместных распределений части характеристик случайных двоичных отображений»

2012 Теоретические основы прикладной дискретной математики №4(18)

ОЦЕНКИ СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ В ПРЕДЕЛЬНЫХ ТЕОРЕМАХ ДЛЯ СОВМЕСТНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ЧАСТИ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ДВОИЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

Московский государственный технический университет радиотехники, электроники

и автоматики, г. Москва, Россия

Ключевые слова: случайное двоичное отображение, локальная предельная теорема, закон больших чисел, автокорреляционные коэффициенты, спектральные коэффициенты, веса подфункций.

Согласно [1], в устойчивости современных блочных и поточных шифрсистем к различным методам анализа значительную роль играют свойства используемых в них двоичных вектор-функций или S-Ьох’ов. В работе [2] доказано, что многие важные свойства двоичного отображения f, такие, как максимальная нелинейность, корреляционная иммунность, устойчивость, сводятся к обладанию этими свойствами всеми ненулевыми линейными комбинациями координатных функций f, называемых в [3] компонентными функциями или компонентами. Свойства же компонент могут быть выражены в терминах их коэффициентов Фурье — Уолша — Адамара (спектральных коэффициентов), весов подфункций и автокорреляций.

Для произвольных подмножества I = множества и непустого подмножества J = множества через wJ (f) обозначим вес

(f^i’»‘,1j подфункции f J)1’»‘’1i компоненты fJ = fj1 ф . ф fj|J| отображения

/ = (/і. ,/т) Є Вт, получаемой, если у аргумента функции /J значения координат с номерами іі. , і|і| положить равными единице. Под |11 понимается мощность множества I.

В таких же условиях для компоненты /J можно определить спектральный коэффициент Фурье — Уолша — Адамара

Р J (/) = 1 ^ (— ]_)^ (х)фХг! ® . . . ©Хгц

и автокорреляционный коэффициент (автокорреляционную функцию, автокорреляцию)

где в/ Е УП — двоичный вектор веса |11, в котором единицы стоят на *1. , *|/| местах,

Многие свойства двоичных отображений зависят от того, чему равен вектор, состоящий из части определённых выше характеристик всех компонент или их части. В частности, двоичное отображение является корреляционно-иммунным порядка к, если вектор

(т/ (/) — 2п-|/1-1 : 3 С , 3 = 0,1 С , 1 ^ |11 ^ к) или вектор

(Г/ (/) : 3 С , 3 = 0,1 С , 1 ^ |11 ^ к)

состоят из одних нулей [4]. Кроме того, отображение подчиняется строгому лавинному критерию или критерию распространения степени 1, если состоит из нулей вектор

Изучению подобных векторов в случае одной компоненты или булевой функции посвящены работы [4-6]. Подробный обзор публикаций, в том числе и по этой тематике, содержится в [1].

Пусть функция / выбирается случайно и равновероятно из множества Вт всех т-мерных двоичных функций от п переменных. Это эквивалентно независимому равновероятному выбору её значений / (а) из множества Ут двоичных векторов размерности т для всех а из множества УП. Можно рассматривать значение функции / как вектор длины т, состоящий из значений её координатных двоичных функций от п переменных:

/ (а) = (/1 (а) , Л (а) , . . . , /т (а)) : УП ^ Уm,

где / (а) : УП ^ для всех * Е .

Тогда значения / (а) выбираются независимо и равновероятно из множества для всех а из множества УП и для всех * Е .

В случае случайного выбора / векторы, состоящие из части характеристик компонент отображения, также являются случайными, и возникает вопрос об их распределении, в том числе и предельном.

В п. 1 данной работы доказаны отношения сравнимости, которым должны удовлетворять координаты векторов части характеристик. В п. 2 получены результаты

о характере и скорости сходимости к нулю нормы вектора части спектральных коэффициентов компонент случайного двоичного отображения, а также показана асимптотическая нормальность этого вектора с оценкой скорости сходимости. В п. 3 и 4 при введении дополнительных условий аналогичные результаты получены для векторов части весов подфункций компонент и автокорреляционных коэффициентов.

Везде далее Е£ обозначает математическое ожидание случайной величины £.

1. Сравнения для характеристик компонент двоичного отображения

Для произвольного или случайного отображения / будем записывать далее

Формулы связи между спектральными и автокорреляционными коэффициентами широко известны (к примеру, теорема 65 в [7]).

В работе [4] доказаны формулы связи весов подфункций и спектральных коэффициентов для любых булевых функций:

Р/ = Е (-1)И (2″-і — 2|Ь|т£),

Последнее равенство, опубликованное О. В. Денисовым в начале 2000 г., является аналогом равенства Саркара для коэффициентов Уолша Ж/ = 2Г/, названного так в [8]. Из него легко выводится отношение сравнимости для спектральных коэффициентов, также представленное в [4]:

Р/ = £ (-1)ІАЬ|+1Р/ (шоа 2111).

Но это отношение верно для части спектральных коэффициентов, относящихся только к одной компоненте /7 функции /. Докажем следующее

Утверждение 1. Для любого непустого подмножества 3 = множе-

ства и произвольного подмножества I = |і1. , і|/|> множества имеет место

Доказательство. Очевидно, что т/ = £ в/ (а) // (а), где в/ (а) = а^а^2. а*

(при 1 = 0 считаем, что в/ (а) = 1). Получим

Е (-1)М+1 т;4 = Е (-1)|г’1+1 Е в/ (а) Г (а) =

= ^ в/ (а) ^ (—1)|;| + 1 К/«1 Ф . Ф /5|^| ).

Известно, что /Л Ф . Ф = £ (—2)|К 1-1 /й1 . Д|к|, следовательно,

^ |в | I = ^ ( 1) ^ ( 2) /й1 . ^й |К |

0=йс/ 4 7 0=йс/ 0=кс;

где 1 —индикатор того, что множество К равно множеству 3.

В итоге получаем

Из последнего равенства легко выводится сравнение для весов подфункций.

Следствие 1. В условиях утверждения 1 выполняется сравнение

К отношению же из [4] добавляется новое сравнение для спектральных коэффициентов.

Следствие 2. В условиях утверждения 1 выполняются сравнения

£ (—1)|Ь|Р/ = 0 (mod 2111),

Доказательство. Первое сравнение очевидно. Рассмотрим

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

0=SC J V LC/ / 0=SCJ LC/

Теперь докажем два свойства, общих для автокорреляционных коэффициентов всех двоичных отображений.

Утверждение 2. Пусть n Е N, n ^ 2, f (x) Е — произвольная функция,

I С и J С , где I, J = 0. Тогда

Доказательство. Пусть без ограничения общности J = , I = . Обозначим 1n Е VH двоичный вектор веса |I|, состоящий из единиц. Получим

rJ (f) = ^2 (—1)fJ(x)®fJ(x®e1) = ^ £ f ( —1)/l(«,e)®/l(«,e®T\I\^ =

Утверждение 3. Пусть I1, I2 С и J С , где I1, I2, J = 0. Тогда rJ — rJ2 = 0 (mod 8).

Доказательство. Если I1 = I2, то утверждение очевидно. Без ограничения

общности считаем, что J = , I1 = I2. Обозначим e/l = a, e/2 = в, а = в. Тогда

rJ — rJ = ^ (—1)fl(x) Л—1)/l(x®«) — (—1)fl(x®eA

Будем говорить, что у € УЛ эквивалентен х € УЛ, если у = х ® ^а ® $2(в для некоторых ^1,^2 € . Очевидно, что отношение эквивалентности введено корректно. Разобьём УЛ на классы эквивалентности по этому отношению и преобразуем разность

Осталось заметить, что в сумме каждый из двух сомножителей делится на 2. ■

Полученные сравнения позволяют уточнить вопрос о возможных значениях, которые могут принимать координаты векторов, состоящие из части характеристик компонент случайного двоичного отображения.

2. Предельные теоремы для вектора, состоящего из части спектральных коэффициентов компонент случайного двоичного отображения

Пусть / — случайная функция из В^7-. Рассмотрим вектор

состоящий из г коэффициентов Фурье — Уолша — Адамара, где г — некоторое натуральное число, не превышающее 2Л+т _ 2Л, и наборы множеств (71,/1) . (7Г, 1Г) попарно различны.

Из определения спектральных коэффициентов легко видеть, что этот вектор равен сумме 2Л векторов

S(f) = 1 S X(а) = 1 S /(-^Л”»”-1®. ®-«. : s E\.

2 «GVn 2 aevn v 7

Рассмотрим набор из 2Л независимых и одинаково распределённых случайных векторов х (а) = (х1 (а) . , хг (а)), а € УЛ, координаты которых имеют математическое ожидание

Ех* (а) = Е(_1/^(а)Фа1 Ф-Фач I /.1 = 0

Очевидно, что для любых к, в € ковариация координат равна

еоу(х* (а) ,хк (а)) = Е(_1) 1 |/з1 1 |т*| = I .

Следовательно, х (а), а € УЛ, —независимые одинаково распределённые в Кг случайные векторы с единичной ковариационной матрицей и нулевым средним.

Сумма векторов £ х (а) лежит в множестве , которое является евклидовым

пространством со скалярным произведением («^Х, ) = £ ЖгУг, где IX = (х1. хг) € Кг,

1/ = (У1.. .Уг) € , и нормой II = л/(//).

Как легко видеть, ||х (а)|| = /г, следовательно, верно, что Е ^||х (а)||в^ = гв/2 < то

при всех вещественных в € (0, 2). Таким образом, мы попадаем в условия основной теоремы [9], из которой следует, что верно

Утверждение 4. Пусть п / то, т — произвольное натуральное число, в € € (0, 2) — вещественное число. Тогда для любых попарно различных наборов множеств (71,11), . (7г, 1г), где 1* С , 0 = Л С для всех в € , г € N верно, что норма вектора 2-Л/в£ (/) сходится к нулю с вероятностью 1.

Данное утверждение при в = 1 является формулировкой усиленного закона больших чисел для случайных векторов х (а), а € УЛ.

Очевидно, что выполняется и обычный закон больших чисел для случайных векторов, и возникает вопрос о скорости сходимости нормы вектора 2 «”/в 5’ (/) к нулю.

Для случайных векторов с нулевыми математическими ожиданиями выполняется теорема 1 [10, с. 47], из которой следует

Утверждение 5. Пусть п, т — произвольные натуральные числа, в € (0, 2) — вещественное число. Тогда для любых попарно различных (/1,/1), . (/г, 1Г), где 1* С , 0 = Л С для всех в € , г € N для любого £ > 0 верно неравенство

Докажем теперь теорему о скорости сходимости распределения РЛ вектора

21-л/25 (/) к распределению Ф стандартного г-мерного нормального закона.

Теорема 1. Пусть п, т — произвольные натуральные числа. Тогда для любых попарно различных (71,11) . , (, 1г), где 1* С , 0 = С для всех в € , г € N и для любого выпуклого борелевского множества В справедливо неравенство |РЛ (В) _ Ф (В)| ^ 400г7/42-л/2.

Доказательство. Согласно основному результату [11], если £(1), £(2). — независимые одинаково распределённые в случайные величины с единичной

ковариационной матрицей и нулевым средним, ^ — случайная величина со стан-

дартным г-мерным нормальным распределением, = N-1/2 £ £^, то ^ =

= вир |Р (5^ € А) _ Р (^ € А)| ^ 400г1/4Е||£(1)|3Ж-1/2, где Ь — класс выпуклых бо-

Для векторов х (а), а € УЛ, попадаем в условия этого результата при Е||х (а)||3 = = г3/2 и N = 2Л. ■

Данная теорема предлагает равномерные по г оценки расстояния между распределением вектора 21-л/2£ (/) и многомерным стандартным нормальным распределением в обобщённой метрике полной вариации по классу выпуклых борелевских множеств и, следовательно, в равномерной метрике в терминах [12]. При п /то из этой тео-

ремы следует асимптотическая нормальность вектора и, следовательно, интегральная предельная теорема.

3. Предельные теоремы для вектора, состоящего из части весов подфункций компонент случайного двоичного отображения

Теперь рассмотрим вектор Ш (/) = (21+(|/г,|/2) (и/ (/) _ 2га-|/в|-1) : 1* С ,

0 = Л* С , в € ) , состоящий из г весов подфункций, где г — некоторое натуральное число, не превышающее 2Л+т _ 2Л, а пары множеств (^1,11) . (Лг, 1г) —любые попарно различные.

Из определения и/ (/) легко видеть, что этот вектор равен сумме векторов

Ш (/)= Е (2%%. (а) (~1)/^ (а)Ф1 : в = Е т (а),

где в/ (а) = а^1 а^2 . а^^ (при 1 = 0 считаем, что в/ (а) = 1).

Рассмотрим набор из 2Л независимых случайных векторов т (а), для всех координат которого т* (а) верно равенство

Ет* (а) = 2 ¥ в/. (а) Е(_1)/^(а)Ф1 = 0.

Следовательно, т (а), а € УЛ — независимые не одинаково распределенные в Кг случайные величины с нулевым средним. Сумма векторов £ т (а) лежит в Кг. Введём

Условия 1. Пусть выполняется следующее:

1) Зафиксировано некоторое натуральное г €.

2) Зафиксирован набор непустых попарно различных подмножеств Л1. , множества < 1 , . . . , т>.

3) Для любого в € зафиксировано произвольное подмножество 1* множества < 1 , . . . , п>.

Обозначим 8 = £ 2|/в|.

Пусть выполняются условия 1. Тогда при фиксированном т выполняется неравенство Е||т (а)||2 ^ 8 < +то. Следовательно, попадаем в условия теоремы 4.2.1 [13], согласно которой верно следующее

Утверждение 6. Пусть п / то, т — произвольное натуральное число. Тогда для любых попарно различных (Л1,11) . , (Лг, 1г), удовлетворяющих условиям 1, норма вектора 2-ЛШ (/) сходится к нулю с вероятностью 1.

Данное утверждение является формулировкой усиленного закона больших чисел для случайных векторов т (а), а € УЛ.

Рассмотрим вопрос о скорости сходимости нормы вектора 2-ЛШ (/) к нулю. Аналогично утверждению 5 можно легко доказать, что верно

Утверждение 7. Пусть п,т — произвольные натуральные числа. Тогда для любых попарно различных (Л1,11) . (Лг, 1г) и для любого £ > 0 верно неравенство

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Определение 1 [14]. Пусть £(1). , ) есть N независимых не обязательно оди-

наково распределённых случайных векторов в Кг с ковариационными матрицами ооу (£(,?’)), ] € . Тогда средней ковариационной матрицей случайных век-

торов £(1). , £(N) называется матрица У = — £ соу (£(,?’)).

Теперь оценим скорость сходимости характеристической функции специальным образом преобразованного вектора, составленного из весов подфункций, к характеристической функции стандартного многомерного нормального закона соответствующей размерности.

Утверждение 8. Пусть п, т — произвольные натуральные числа. Дано случайное отображение / = (/1, /2. , /т) € Вт и выполняются условия 1. Тогда для всех £ € Кг, таких, что ||£|| ^ 2л/4-1 8-1/2, для характеристической функции (£) случай-

-п-21им4*2 7е-1 РН4 + 81Ш12 (_^2-л81Ш12 + 383 «+»2

¥>«г (£) _ е-2^ 2-л-2||*||482 ^-е-2Н*Н + 8||£||2 ^2″Л8|*|2 + ^ е-—

Доказательство. Пусть / — случайная функция из В^. Рассмотрим вектор

где Еи>^ (/) = 2п |/в| Очевидно, что и>г = 2 п/2 Е г (а).

Рассмотрим набор из 2Л независимых случайных векторов т (а), для всех координат которого т* (а) выполняется свойство Ет* (а) = 0.

Для любых к, в € верно равенство

соу (т* (а) ,тк (а)) = 2^в/, (а) в/к (а) Е(_1)/ ‘(а)Ф/ к(а) = 2|/г,|в/, (а) 1 .

Следовательно, средняя ковариационная матрица У , за исключением главной диагонали, заполнена нулями, а элементы главной диагонали равны

Получили, что т (а), а € УЛ — независимые неодинаково распределённые в Кг случайные векторы с единичной средней ковариационной матрицей и нулевым средним.

Рассмотрим ляпуновскую дробь /*,2п, определённую по формуле

Во введённых обозначениях выполняется теорема 8.6 из [14], согласно которой, если каждый вектор т (а) имеет конечный четвертый абсолютный момент р4 (т (а)) =

Е||т (а) ||4 и ляпуновская дробь /4,2— не превосходит единицы, то для всех t G Rr

таких, что ||t|| ^ 1 /4 2п , справедливо неравенство

7 , . .,4 _ 1 1Ы14 / 9 ,0 .. . ..a 1

^/4,2-j|tN4e-2+ I —/2 2.lit!8 + -/2 lit»61 e

40 ~4,2—1 1 + V 500 4,2- 1 1 + 36 3,2

где ^3 (t) = 2-n £ E ((t,T (а))3). Легко видеть, что

Р4 (т (а)) = ^ Е (2(а)^ ^ = ^ £ (а^ ^ ^2.

В обозначениях (8.11) в [14] р4 = 2-n Y1 Р4 (т (а)).

Очевидно, что р4 ^ 52, Е ((t,r (а))3) =0 и ^3 (t) = 0.

В силу неравенства (8.12) из [14] /4,2— ^ 2-n52, /3,2— ^ 2-n/253/2. Следовательно,

для всех t G Rr, таких, что ||t|| ^ 2n/4-15-1/2 ^ 2n/4-1(p4)-1/4 ^ -/-/4, выполняется утверждение теоремы. ■

Теперь, используя утверждение 8, докажем теорему о скорости сходимости распределения wr к распределению Ф стандартного r-мерного нормального закона.

Теорема 2. Пусть m, n — произвольные натуральные числа, L — множество бо-релевских выпуклых подмножеств Rr, выполняется набор условий 1 и дано случайное отображение f = (f1, f2. , fm) G B^. Пусть для n выполняется

n > max |52 — 1, 12 + 2log2 (95(r + 2)2)> .

Тогда для случайного вектора wr из формулировки утверждения 8 с распределением Qn верно следующее неравенство:

sup |Qn (C) — Ф (C)| ^ 4 f&1 (r) 2-n/2 + b2 (r) 2-n/2n-1/2 + 63 (r) 2-nnr/2+

+64 (r) 2-3n/2n-3/2 + 65 (r) 2-2nnr/2 + 6б (r) e-28077 2-n/4nr/2+

+67 (r) e-1677 2-n/4nr/2 + 6a (r) e- wl 2-3n/4nr/2J ,

где Ф — распределение случайной величины со стандартным г-мерным нормальным распределением,

25г4/383/2Г((г + 1) /2) 11г83/2

(4 + е3/2) 83/2 (г _ 1) 83/2 21/283/2 (г3/2 _ 3г1/2 + 2)

+ 6е3/2^2л + 2г1/2пе1/2 + п3/2 ,

2(r-1)/2r(r-2)/2(ln2)r/252 / 7 or /r + 4\ 5 (1000\ /r + 6

3 (r)= (Г (r/2))2 V 20 4 \^) + 18\ш) V

(Г (r/2))2 V 20 V 4 / 18 V 383 У V 2

23г5/2£3 9 ■ 2( )/2 г(г-2)/2(1п 2)г/2£4( 1000 )2г (^)

) п^2)3/2, ( ) 125(Г (г/2))2

^ 2г+3£1/2г(г-2)/2(1п 2)г/2 / 3 \(1+г)/2

(п 1п2)1/ (Г (г/2))2 \3 _ 2^2/

£1/22г+3г(г-2)/2(1п2)г/2 ч £2 2г+7/2г(г-2)/2(1п 2)г/2

Здесь Г (ж) —значение гамма-функции Эйлера в точке х. Доказательство. Верно следующее равенство:

где Ic — индикатор множества С.

Рассмотрим случайный вектор K со значениями в Rr с плотностью

3a \ тт I sin axs

где а = 2п-1/3г5/6. Сглаживающая вероятностная мера, порождённая этим вектором, активно используется в [14].

Рассмотрим случайный вектор еК с распределением К£. Согласно неравенству (13.12) из [14],

Р (еК Є \В (0 : е)) ^ Р (К Є \В (0 : 1)) ^ -,

где В (х : е) —открытый шар в радиуса е с центром в х. Тогда

р (еК Є В (0 : е)) ^ 8 > 2•

Следовательно, попадаем в условия следствия 11.5 в [14]:

в 4(2wic (Rr) !(Qn — Ф) t Kg! + w;c (2є : фЛ

где t — внутренняя операция свёртки (композиции) двух конечных обобщённых мер; w/c (S) = sup |IC (x) — Ic (y)| —колебание функции Ic на множестве S; вариационная

норма [14] на классе всех конечных обобщённых мер, равная полной вариации меры, обозначена как ||(Qn — Ф) t Kg||,

Wjc (2є : Ф) = sup j w/c (B (x — y : 2є)) Ф (dx).

Очевидно, что w/c (Rr) = 1, а, согласно неравенству (13.42) из [14],

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

w’c (2є : Ф) в ЗГ (r/2) є

Теперь рассмотрим поведение величины ||(фЛ _ Ф) * К£||. Из определения вариационной нормы следует, что

ка _ Ф) * ке|| =28пр |(^Л _ Ф) * К (В)| ,

где Вг — борелевская сигма-алгебра подмножеств из .

Для каждого борелевского множества В и к > 0 определим множества

В1 = В П В (0 : к) , В2 = В\В1.

Оценим |(фп _ Ф) * К (Вг)|, г € .

Рассмотрим конечную обобщённую меру Р1 (а) с плотностью

(Ж1 . . . жг) X 1 (Х(3,0. 0) (ж? _ ЗЖ1) + . + Х(0,0. 3) (ж3 _ 3хг)) +

+ 2 (Х(2,1. 0) (х1х2 _ + Х(0. 1,2) (ж2жг-1 _ жг-1)) +

+Х(1,1,1,0. 0)х1 х2х3 + . + Х(0. 1,1,1)хг-2хг-1хг

где Х(т1. тк) = Х7 — семиинварианты (кумулянты) вероятностной меры, порождённой случайным вектором т (а), порядка 7; ^ (ж1. хг) —плотность распределения случайного вектора со стандартным г-мерным нормальным распределением.

Согласно равенству (7.22) из [14], / р* (х1. хг) ^х=0. Пусть Р1=2-Л £ (ж1. жг).

Данная мера введена в равенстве (2.10) в [15]. Имеем

|(^Л _ Ф) * К (В1)| ^ |Нл * К (В1)| + 2-л/2 |Р * Ке (В1 )| ,

где Нл = ^Л _ Ф _ 2-Л/2 Рь

Обозначим через Нл = / ег(*,ж) Нл (^х) преобразование Фурье обобщённой меры Нл.

Согласно неравенству (13.22) из [14], получим

|Нл * К (В1)| ^ (2п)-гАг (В1) / Нл (£) к£ (£)

где Аг — мера Лебега на .

С учётом вычисленного в [14] преобразования Фурье для Р1 получаем, что верно равенство

Нл = § ег(*,ж)ЯЛ (^х) = / ег(*,ж) (^Л _ Ф _ п-1/2Р1) (^х) =

= ^Л _ е-2 ||£||2 1 + г— п-1/2^(£)) , где ^3 (£) = 2-Л £ Е ((£,т (а))3).

Легко показать, что Е ((£, т (а)) ) = 0.

Возьмем в качестве £ величину аг1/2р32′ (Л 3)/2, где р3 = 2 Л £ р3 (т (а)),

р3 (т (а)) = Е||т (а) |3. Очевидно, что р3 ^ £3/2.

Согласно соотношению (13.36) в [14], верно неравенство

где р4 введено в конце доказательства утверждения 8. Там же показано, что утверждение 8 верно при всех ||і| ^ 2п-1(р4)-4. Следовательно,

Легко можно показать, что верны следующие неравенства:

|4е— 1 И*И ІІ ^ Г ||І|4е— 1 И*И ІІ = Г хг+3е— 2х4Іх,

|8 _-383|Ы|2 ,, . 2пГ/2 г+7 __383х2

| е 1000ІІІИ ІІ ^ J х Є 1000х Іх

Г ||і||6є—і383?И*И ІІ ^ Г хг+5е—іжх2Іх.

Из равенства / хте—ахПІх = а—(т+1)/га!Г ((т + 1) /п) следует, что

Г Я (і) ІІ ^ 522—п—1 (202г/4Г (^) +

952о—га/ 1000\ (г+8)/^ /г + 8\ 5 /1000 \ (г+6)/^ /г + 6

+ 250 1″з83І I 2 ) + 181^83/ V 2

Согласно оценке (13.39) в [14], при п > 52 > р4 верно неравенство

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

+ Г е—2 И*И ІІ + -р32—п/2 Г

г/2 / хг- 1е — х2 ^х + — р32(г+1 — л)/2 / хг+2е — х2 ^х

п_ 3, Ч_1 3 п_ 3 Ч_1

24 2 (Р4) 4 24 2 (Р4) 4

Для всех п > 12 + 21og2 (95(г + 2)2) подынтегральные функции можно ограничить функцией е-х2/2 и, использовав известное неравенство, получить

2-л/4е-2807! + ( 2г/2 + 2(г+1-л)/2 | е- 1бТ! 2(2-л)/4

Применяя лемму 13.1 из [14] и учитывая, что р3 ^ 53/2, получаем

2-л/2 |Р1 * К£ (В1)| ^ 2-(л+2)/2 |Р1| ^

/ 4 + е3/2 + (г _ 1) + 21/2 (г3/2 _ 3г1/2 + 2)\ /2

^ ^6е3/2^2Л 2г1/2пе1/2 п3/2 !

Собирая все оценки воедино, с учётом того, что Аг (В1) ^ гр(т-/2) кг, получаем, что верно неравенство

952 _ /1000 N 2 (г + 8\ 5 /1000\ 2 (г + 6

2-л/4е-2807! + ( 2г/2 + 2(г+1-л)/2 | е-27! 2(2-л)/4 ) ) +

+ / 4 + е3/2 + (г _ 1) + 21/2 (г3/2 _ 3г1/2 + 2) N 53/22-л/2

у6е3/2^2п 2г1/2пе1/2 п3/2 у

Теперь рассмотрим |(фЛ _ Ф) * К£ (В2)|. Согласно оценкам (13.27) и (13.28) в [14], верны следующие неравенства:

|(фп _ Ф) * К (В2) | ^ шах< Р

где т5 (а) — 5-е координаты случайных векторов т (а).

Согласно теореме Берри — Эссена для независимых разнораспределённых случайных величин [14], верно неравенство

где ^ (£) — плотность стандартного нормального распределения

Если принять к = (8гп 1og 2)1/2, то, собрав все неравенства вместе, получим утверждение теоремы. ■

В теореме 2 получена оценка расстояния между распределением случайного вектора 2-л/вШ (/) и г-мерным стандартным нормальным распределением в обобщённой метрике полной вариации [12] по классу всех выпуклых борелевских множеств, из которой при п /то следует асимптотическая нормальность и локальная предельная теорема.

В отличие от следствия теоремы 13.3 из [14], где показано, что

в теореме 2 удалось найти зависимость оценки скорости сходимости к нормальному закону от размерности вектора.

4. Предельные теоремы для вектора, состоящего из части автокорреляционных коэффициентов компонент случайного двоичного

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

А (/) = (г£ (/) : ^ С ; Л С ; = 0, Л = 0; 5 € ) ,

состоящий из г аддитивных автокорреляционных коэффициентов, где г — некоторое натуральное число и наборы множеств (Л1, /1) . , (, 1г) удовлетворяют таким условиям:

Условия 2. Пусть выполняется следующее:

1) Зафиксирован набор непустых попарно различных подмножеств Л*. , Лр множества , р € .

2) Для каждого д € зафиксированы натуральное € и набор произвольных попарно неравных непустых подмножеств /д,1. /9,^? множества .

Обозначим г = £ Ід, к 9=1

а пары множеств (/*, /1;1) . , (/*, /1;^1),

Обозначим распределение случайного вектора 2—(л+1)/2А (/) через Ял и найдём расстояние между ним и г-мерным стандартным нормальным распределением в обобщённой метрике полной вариации [12] по классу всех выпуклых борелевских множеств.

Теорема 3. Дано случайное отображение / = (/1, /2. , /т) € В^ и выполняется набор условий 2. Тогда для любого выпуклого борелевского множества В выполняется неравенство

Доказательство. Пусть, без ограничения общности, и им = .

Обозначим в/ . € К, ] € , д € , через 71. 7Г, где в/ € К,

введено при определении г/.

Пусть //г (в) = Рг (в) для любых г € . Запишем

||р1 (в) Ф р1 (в Ф 71) Н\ (р1 (в) ® р1 (в ® 71^

ЛРг (в) Ф Рг (в Ф 7г)||/ вЕУп VРг (в) Ф Рг (в Ф 7г),

Разобьём в получившейся сумме область суммирования на 2Л-к областей, соответствующих векторам в с одинаковыми последними п _ к координатами, набор которых обозначим а. Очевидно, что

Р г-1 (в ) = . = Р « (в )= (в) ,

где , д € , — попарно независимые случайные величины. Тогда ^Р1 (в) Ф Р1 (в Ф 71)

вЕУп Ург (в) Ф Рг (в Ф 7г)/ аЕУп-к аЕ^п-к

где = 1 Е (д9 (^а) Ф 9я (^а Ф 7д,*)).

Каждая компонента п«г, г € , д € , имеет биномиальное распределение с параметрами (2к-1,1/2). Следовательно, математическое ожидание каждой компоненты равно Е^а,г = 2к-2, а дисперсия Б = 2к-3.

Аналогично доказательству основной теоремы в [5], можно показать, что ковариационная матрица вектора па равна 2к-3Ег, где Ег — единичная матрица соответствующего размера.

Пусть / — случайная функция из В^. Рассмотрим вектор а (/) = 2-(л+1)/2А (/).

Из определения автокорреляционных коэффициентов следует, что

Е I . I = Е 2(ПГ ,д €,г € )Т = Е П

а (/) = 2 «2* Е (2 32* (2к 2 _ па,г) ,д €,г €) = 2 «2 *Е С (а).

Рассмотрим набор из 2Л — к величин £ (а), а € ^Л _к, — независимых одинаково распределённых в случайных векторов с единичной ковариационной матрицей и нулевым средним. В этих условиях, как и в теореме 1, выполняется результат из [11]. Несложно показать, что

Из этой теоремы следует равномерная по r оценка расстояния между распределением вектора 2″(”+1)/2A (f) и многомерным стандартным нормальным распределением в равномерной метрике, стремящаяся к нулю, т. е. опять получаются асимптотическая нормальность и интегральная предельная теорема.

Из доказательства теоремы 3 следует равенство

(rJs (f): s G) = £ £ (а)= £ (4 (2fc-2 — nf) ,q G,i G)T,

где случайные величины п«г введены при доказательстве теоремы 3.

Рассмотрим набор из 2”»k величин £ (а), а Е Vn-fc, — независимых одинаково распределённых в Rr случайных векторов с ковариационной матрицей 2fc+1Er и нулевым средним.

Утверждение 9. Пусть n / то, m — произвольное натуральное число, в Е Е (0, 2) — вещественное число. Тогда для любых попарно различных наборов множеств (J1,11) . (Jr, Ir), удовлетворяющих условиям 2, норма вектора 2″”/eA (f) сходится к нулю с вероятностью 1.

Данное утверждение при в = 1 является формулировкой усиленного закона больших чисел для случайных векторов £ (а), а Е V”.

Теперь рассмотрим вопрос о скорости сходимости к нулю нормы вектора 2″”/eA (f).

Так как ||£ (а)|| ^ ^/r2fc и E (||£ (а)||2) ^ r22k, то при всех n — k ^ log2r попадаем в условия основной теоремы из [16], из которой следует

Утверждение 10. Пусть n, m — произвольные натуральные числа, в Е (0, 2) — вещественное число. Тогда для любых попарно различных (J1,11) . , (Jr, Ir), удовлетворяющих условиям 2, таких, что n — k ^ log2r, и для любого е > 0 верно

В данной работе удалось доказать асимптотическую нормальность совместного распределения части автокорреляционных и спектральных коэффициентов и весов подфункций компонент двоичных вектор-функций. Следующий этап в изучении векторов из части этих характеристик, в том числе и растущей размерности, — это построение локальных предельных теорем, полезных для изучения криптографических свойств функций. В частности, стоят задачи обобщения на m-мерный случай результатов [4, 6] и усиления фактически доказанной в [5] локальной предельной теоремы для вектора, состоящего из части автокорреляционных коэффициентов одной компоненты с I, мощность которых равна 1.

1. Логачев О. А., Сальников А. А., Ященко В. В. Булевы функции в теории кодирования и криптологии. М.: МЦНМО, 2004. 472 с.

2. Ященко В. В. Свойства булевых отображений, сводимые к свойствам их координатных функций // Вестник МГУ. Сер. Математика. 1997. Т. 33. №1. С. 11-13.

3. Carlet C. Vectorial Boolean functions for cryptography // Boolean Models and Methods in Mathematics, Computer Science, and Engineering. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. V. 134. New York: Cambridge University Press, 2010. P. 398-472.

4. Денисов О. В. Локальная предельная теорема для распределения части спектра случайной двоичной функции // Дискретная математика. 2000. Т. 12. №1. С. 82-95.

5. Панков К. Н. Верхняя граница для числа функций, удовлетворяющих строгому лавинному критерию // Дискретная математика. 2005. Т. 17. №2. С. 95-101.

6. Рязанов Б. В. О распределении спектральной сложности булевых функций // Дискретная математика. 1994. Т. 6. №2. С. 111-129.

7. Таранников Ю. В. Комбинаторные свойства дискретных структур и приложения к криптологии. М.: МЦНМО, 2011. 152 с.

8. Халявин А. В. Оценка нелинейности корреляционно-иммунных булевых функций // Прикладная дискретная математика. 2011. №1. С. 34-69.

9. Азларов Т. А., Володин Н. А. Законы больших чисел для одинаково распределенных банаховозначных случайных величин // Теория вероятностей и её применения. 1981. Т. 26. №3. С. 584-590.

10. Кахан Ж.-П. Случайные функциональные ряды. М.: Мир, 1973. 304 с.

11. Bentkus V. On the dependence of the Berry-Esseen bound on dimension // J. Stat. Plan. Infer. 2003. V. 113. No. 2. P. 385-402.

12. Золотарев В. М. О свойствах и связях некоторых типов метрик // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1979. Т. 87. С. 18-35.

13. Padgett W. J. and Taylor R. L. Laws of Large Numbers for Normed Linear Spaces and Certain Frechet Spaces. New York: Springer, 1973. 117 p.

14. Бхаттачария Р. Н., Ранга Р. Аппроксимация нормальным распределением и асимптотические разложения. М.: Наука, 1982. 288 с.

15. Bhattacharya R. N. Rates of weak convergence for the multidimensional central limit theorem // Теория вероятностей и ее применения. 1970. Т. 15. №1. С. 69-85.

16. Прохоров Ю. В. Распространение неравенств С. Н. Бернштейна на многомерный случай // Теория вероятностей и её применения. 1968. Т. 13. №2. С. 266-274.

Какое соотношение верно 400 па

Вязкость (внутреннее трение) – это свойство идеальных жидкостей.
Верно ли данное утверждение?

Вязкость газов зависит от температуры.
Верно ли данное утверждение?

Вязкость жидкостей зависит от температуры.
Верно ли данное утверждение?

При течении реальной жидкости скорость слоев, прилегающих к стенкам трубы, равна нулю.
Верно ли данное утверждение?

В реальной жидкости скорость слоев, прилегающих к движущемуся телу, равна нулю.
Верно ли данное утверждение?

В реальной жидкости скорость слоев, прилегающих к движущемуся телу, равна скорости движения тела.
Верно ли данное утверждение?

Для ньютоновских жидкостей вязкость зависит от градиента скорости.
Верно ли данное утверждение?

Для неньютоновских жидкостей вязкость зависит от градиента скорости.
Верно ли данное утверждение?

Кровь является ньютоновской жидкостью.
Верно ли данное утверждение?

Вода является ньютоновской жидкостью.
Верно ли данное утверждение?

Выберите формулу закона Стокса.

Вопрос с выбором ответа Вес: 2

Код: 33

Выберите силы, действующие на шарик, движущийся в жидкости.

Настройка модели оценивания

Оценивание: Мягкое

Вопрос с выбором ответа Вес: 1

Код: 48

Выберите формулу Гагена-Пуазейля для объемной скорости жидкости.

Вопрос на соответствие Вес: 2

Код: 14

Установите соответствие между физическими величинами и их единицами измерения.

м/с	линейная скорость жидкости
Н (Ньютон)	сила
Па•с, П (Пуаз)	динамическая вязкость
м^3/с	объемная скорость жидкости
безразмерная величина	отношение объемов (или вязкостей)
давление внутри жидкости
площадь соприкасающихся слоев

Настройка модели оценивания

Оценивание: Мягкое

Вопрос с выбором ответа Вес: 2

Код: 15

Согласно формуле Ньютона сила внутреннего трения в жидкости ________

прямо пропорциональна площади соприкасающихся слоев
обратно пропорциональна площади соприкасающихся слоев
прямо пропорциональна градиенту скорости
обратно пропорциональна градиенту скорости
прямо пропорциональна вязкости жидкости
обратно пропорциональна вязкости жидкости

Отношение объемов двух жидкостей, протекающих за равные промежутки времени по одинаковым капиллярам ________

равно произведению вязкостей жидкостей
обратно произведению вязкостей жидкостей
равно отношению вязкостей жидкостей
обратно отношению вязкостей жидкостей

Выберите условия, которые должны выполняться при определении вязкости жидкости методом Стокса.

диаметр сосуда должен быть значительно больше диаметра шарика
диаметр сосуда должен быть незначительно больше диаметра шарика
движение шарика должно быть равномерным
движение шарика должно быть равноускоренным
плотность шарика должна быть меньше плотности жидкости
плотность шарика должна быть больше плотности жидкости
жидкость должна быть прозрачной
жидкость может быть непрозрачной

Какие силы действуют на шарик, движущийся в жидкости?

сила трения
выталкивающая сила
сила упругости
сила тяжести
сила реакции опоры
сила натяжения нити

На рисунке показан вискозиметр Гесса, заполненный жидкостями.
Выберите правильные названия частей вискозиметра.

1	капилляр для заполнения дистиллированной водой
2	капилляр для заполнения кровью или другой исследуемой жидкостью
3	тройник с краном
4	трубка для подсоединения резиновой груши
основание, на котором крепятся капилляры
осветитель

Настройка модели оценивания

Оценивание: Мягкое

Вопрос с выбором ответа Вес: 1

Код: 23

На рисунке показан вискозиметр Гесса, заполненный жидкостями.
В одном капилляре находится дистиллированная вода, в другом — кровь.
Выберите правильное соотношение объемов крови и воды.

объем крови в 4 раза больше объема воды
объем воды в 4 раза больше объема крови
объем крови в 2 раза больше объема воды
объем воды в 2 раза болше объема крови
объемы крови и воды одинаковые

Согласно уравнению Гагена-Пуазейля объем жидкости, протекающей по трубе за 1 с, прямо пропорционален ________

радиусу трубы
радиусу трубы в квадрате
радиусу трубы в кубе
радиусу трубы в четвертой степени

Как, согласно уравнению Гагена-Пуазейля, изменится объем жидкости, протекающей по трубе за 1 с, если радиус трубы увеличить в 2 раза?

увеличится в 2 раза
увеличится в 4 раза
увеличится в 8 раз
увеличится в 16 раз
уменьшится в 16 раз
уменьшится в 2 раза

Как, согласно уравнению Гагена-Пуазейля, изменится объем жидкости, протекающей по трубе за 1 с, если вязкость жидкости уменьшить в 2 раза?

увеличится в 2 раза
уменьшится в 2 раза
увеличится в 4 раза
уменьшится в 4 раза
увеличится в 8 раз
уменьшится в 8 раз

В вискозиметре Гесса объем воды оказался в 5 раз больше объема крови.
Какой будет вязкость крови, если вязкость воды 1мПа*с?

В вискозиметре Гесса перед началом измерения вязкости кровь и вода должны достичь в капиллярах ________

Для упрощения измерения вязкости крови (исследуемой жидкости) в вискозиметре Гесса кровь (исследуемая жидкость) должна достичь в капилляре ________

нулевого деления
деления с единицей
любого деления
крана

На рисунке показана жидкость, находящаяся между двумя пластинками при условии, что нижняя пластинка неподвижна, а верхняя движется с некоторой скоростью.
Слои жидкости пронумерованы от 0 до 6.
Выберите правильные утверждения.

слой 0 неподвижен
слой 6 неподвижен
скорость слоя 0 равна скорости движения подвижной пластинки
скорость слоя 6 равна скорости движения подвижной пластинки
скорость слоев возрастает от нулевого к шестому
скорость слоев уменьшается от нулевого к шестому

Установите верную последовательность слов (словосочетаний) в предложениях.

Все реальные жидкости и газы обладают свойством _______________ (1) или внутреннего _______________(2).
Вязкость – это свойство ____________ (3) жидкостей оказывать _______________(4) перемещению одних слоев относительно других.
Силы внутреннего трения направлены ____________(5) к слоям жидкости.

1	вязкости
2	трения
3	реальных
4	сопротивление
5	по касательной
идеальных
перпендикулярно

Настройка модели оценивания

Оценивание: Мягкое

Вопрос на соответствие Вес: 2

Код: 98

Установите верную последовательность слов (словосочетаний) в предложениях.

Сила внутреннего трения пропорциональна ___________ (1) соприкасающихся слоев и ____________ (2) скорости.
Коэффициентом пропорциональности является динамическая __________ (3).
Сила внутреннего трения определяется по формуле Ньютона __________ (4). Единицей измерения силы является ______ (5).

1	площади
2	градиенту
3	вязкость
4
5	Ньютон (Н)
Па*с (Паскаль-секунда)

Настройка модели оценивания

Оценивание: Мягкое

Вопрос с выбором ответа Вес: 1

Код: 41

Единицы измерения вязкости Пуаз (П) и Паскаль-секунда (Па*с) связаны соотношением ________

1 Па*с = 1 П
1 Па*с = 10 П
1 Па*с = 0,1 П
1 Па*с = 100 П
1 Па*с = 0,01 П

Связь между единицами измерения вязкости Пуаз (П) и Паскаль-секунда (Па*с) ________

1П = 1Па*с
1П = 10Па*с
1П = 100Па*с
1П = 0,1Па*с
1П = 0,01Па*с

При 18 градусах по Цельсию вязкость воды 0,01 Пуаз.
Выразите вязкость воды в Паскаль-секундах, если 1 Па*с = 10 Пуаз.

Объемная скорость жидкости согласно уравнению Гагена-Пуазейля ________

прямо пропорциональна радиусу трубы в четвертой степени
обратно пропорциональна радиусу трубы в четвертой степени
прямо пропорциональна вязкости жидкости
обратно пропорциональна вязкости жидкости
прямо пропорциональна градиенту давления
обратно пропорциональна градиенту давления

Вязкость жидкостей с увеличением температуры ________

увеличивается
уменьшается
не изменияется
для одних жидкостей увеличивается, для других уменьшается

Вязкость газов с увеличением температуры ________

увеличивается
уменьшается
не изменяется
для одних газов уменьшается, для других увеличивается

Установите верную последовательность слов в предложении.

Динамическая ______ (1) численно равна силе внутреннего ______ (2), действующей на единицу ________ (3) поверхности слоя при градиенте _______ (4), равном _______ (5).

1.	вязкость
2.	трения
3.	площади
4.	скорости
5.	единице

Настройка модели оценивания

Оценивание: Мягкое

Вопрос с выбором ответа Вес: 1

Код: 55

Согласно методу Стокса вязкость жидкости определяется по формуле: .
Как скорость движения шарика в жидкости зависит от её вязкости?

с увеличением вязкости жидкости скорость движения шарика возрастает
с увеличением вязкости жидкости скорость движения шарика уменьшается
скорость движения шарика не зависит от вязкости жидкости

Согласно методу Стокса вязкость жидкости определяется по формуле: .
Как изменится скорость движения шарика в жидкости, если радиус шарика увеличить в 2 раза?

увеличится в 2 раза
уменьшится в 2 раза
увеличится в 4 раза
уменьшится в 4 раза
увеличится в 8 раз
уменьшится в 8 раз

Установите соответствие между физическими величинами и приборами для их измерения в лабораторной работе «Определение вязкости жидкости методом Стокса».

радиус (диаметр) шарика	микрометр
плотность стального шарика	табличное значение для стали
плотность жидкости	табличное значение для жидкости
путь, пройденный шариком в жидкости	линейка
время движения шарика в жидкости	секундомер
УВЧ-аппарат
рефрактометр
спектроскоп
поляриметр
микроскоп

Настройка модели оценивания

Оценивание: Мягкое

Вопрос с выбором ответа Вес: 1

Код: 60

В вискозиметре Гесса при измерении вязкости жидкости объем дистиллированной воды в одном из капилляров ________

всегда больше объема исследуемой жидкости
всегда меньше объема исследуемой жидкости
всегда равен объему исследуемой жидкости
может быть и больше и меньше объема исследуемой жидкости

Установите верную последовательность слов (словосочетаний) в предложениях.

Вязкость из формулы Ньютона определяется по формуле ____________ (1) и измеряется в СИ в _______ (2).
Внесистемной единицей измерения вязкости является _________ (3).
Связь между единицами имерения вязкости _________ (4).

1.
2.	Паскальсекунда (Пас)
3.	Пуаз
4.	1Пуаз = 0,1 Па*с

Настройка модели оценивания

Оценивание: Мягкое

Вопрос с вводом ответа Вес: 1

Код: 62

Определите по рисунку диаметр шарика в миллиметрах.

Выберите утверждения, соответствующие графику.

вязкость глицерина не зависит от температуры
при повышении температуры вязкость глицерина увеличивается
при повышении температуры вязкость глицерина уменьшается
при понижении температуры вязкость глицерина уменьшается
при понижении температуры вязкость глицерина увеличивается

Определите по графику вязкость глицерина (мПа*с) при температуре 10 °С.

Определите по графику вязкость глицерина (мПа*с) при температуре 0 °С.

Определите по графику температуру, при которой вязкость глицерина 4 Па*с.

Определите по графику, во сколько раз уменьшится вязкость глицерина при повышении температуры от 0 до 10 °С.

Определите скорость движения шарика (см/с) в глицерине, если расстояние 40 см шарик проходит за 20 секунд.

Как известно, вязкость жидкости зависит от температуры.
Как зависит скорость падения шарика в жидкости от температуры жидкости?

при повышении температуры жидкости скорость падения шарика возрастает
при повышении температуры жидкости скорость падения шарика уменьшается
скорость падения шарика в жидкости не зависит от температуры жидкости
при понижении температуры жидкости скорость падения шарика уменьшается
при понижении температуры жидкости скорость падения шарика увеличивается

На рисунке представлен цилиндрический сосуд с жидкостью.
Высота жидкости в цилиндре 50 см.
Нижняя метка d2 находится на высоте 5 см от дна сосуда, а верхняя метка d1 находится на расстоянии 5 см от верхней границы жидкости.
Определите расстояние (l) между метками на цилиндре. Ответ выразите в метрах.

Определите по графикам массовую долю (%) глицерина, если при 20 °С его вязкость примерно 1200 мПа*с.

Определите по графикам массовую долю (%) глицерина, если при 20 °С его вязкость примерно 800 мПа*с.

Выберите утверждения, соотвествующие графикам.

вязкость глицерина не зависит от его массовой доли
чистый глицерин имеет наибольшую вязкость
при увеличении массовой доли глицерина его вязкость увеличивается
при увеличении массовой доли глицерина его вязкость уменьшается
при повышении температуры вязкость глицерина с любой массовой долей увеличивается
при повышении температуры вязкость глицерина с любой массовой долей уменьшается

Определите по графикам массовую долю (%) глицерина, если его вязкость при 30 °С больше 0,6 Па*с.

На сколько вязкость глицерина с массовой долей 99% больше вязкости глицерина с массовой долей 97% при температуре 20 °С?
Ответ выразите в миллипаскаль-секундах (мПа*с).

Определите показания секундомера в секундах (используйте только основную шкалу).

Определите цену деления секундомера в секундах (используйте только основную шкалу)..

Определите показания секундомера в секундах (используйте только основную шкалу).

Определите цену деления верхней шкалы линейки в метрах (используйте десятичную запись числа).

Вискозиметр Гепплера с падающим шариком использует простой, но при этом точный принцип для определения вязкости ньютоновской жидкости, измеряя время, требуемое шарику для падения через трубку, заполненную жидким образцом.
Диапазон вязкости: от 0,5 до 70 000 мПа•с .
Относительная погрешность: от 0,5% до 2,0% (в зависимости от используемого шарика).
Определите предел измерения вязкости данного прибора.
Ответ выразите в паскаль-секундах (Па*с).

Вискозиметр Гепплера с падающим шариком использует простой, но при этом точный принцип для определения вязкости ньютоновской жидкости, измеряя время, требуемое шарику для падения через трубку, заполненную жидким образцом.
Диапазон вязкости: от 0,5 до 70 000 мПа•с .
Относительная погрешность: от 0,5% до 2,0% (в зависимости от используемого шарика).
Определите минимальную абсолютную погрешность для предела измерения вязкости, используя формулы:
.
Ответ выразите в миллипаскаль-секундах (мПа*с).

Вискозиметр Гепплера с падающим шариком использует простой, но при этом точный принцип для определения вязкости ньютоновской жидкости, измеряя время, требуемое шарику для падения через трубку, заполненную жидким образцом.
Диапазон вязкости: от 0,5 до 70 000 мПа•с .
Относительная погрешность: от 0,5% до 2,0% (в зависимости от используемого шарика).
Определите максимальную абсолютную погрешность измерения вязкости молока, если при 8 °С вязкость молока 2,72 мПа•с, используя формулы:
.
Ответ выразите в миллипаскаль-секундах (мПа•с).

Определите по графику вязкость воды при температуре 0 °С. Ответ выразите в мкПа*с.

Во сколько раз уменьшится вязкость воды при нагревании от 0 до 44 °С?

Определите по графику вязкость воды при температуре 44 °С. Ответ выразите в мкПа*с.

Определите по графику температуру воды (°С), если вязкость воды 1600 мкПа*с.

При какой температуре (°С) вязкость воды 1 мПа*с?

На рисунке изображены зыбучие пески, которые по вязкости относятся к жидкости.
Из предложенного списка выберите ньютоновские жидкости.

зубная паста
мед
смесь крахмала с небольшим количеством воды
сгущеное молоко
кровь
зыбучие пески
моторные масла
вода
глицерин

Прочитайте текст и вставьте на место пропусков слова (словосочетания) из приведенного списка.

Исследование следа, оставляемого дождевыми каплями на стекле окна, показывает, что дождевые капли падают не с ускорением, как выпущенный из рук камень, а _______ (1).
Почему капли дождя у поверности земли движутся равномерно?
Сопротивление, испытываемое падающим телом со стороны воздуха, зависит от _______ (2) падающего тела: чем больше скорость, тем больше сила сопротивления.
В первые мгновения, пока скорость тела мала, можно считать, что на падающее из состояния покоя тело действует только _______ (3).
В дальнейшем скорость падения возрастает и _______ (4) возрастает.
В некоторый момент равнодействующая всех сил, действующих на каплю становится равной нулю, и капля _______ (5).

1	равномерно
2	скорости
3	сила тяжести
4	сила сопротивления
5	движется равномерно
останавливается
выталкивающая сила

Настройка модели оценивания

Оценивание: Мягкое

Вопрос на соответствие Вес: 2

Код: 120

Установите верную последовательность слов (словосочетаний) в предложениях.

Закон Пуазёйля (закон Гагена — Пуазёйля или в иной транскрипции — закон Хагена — Пуазёйля) — физический закон _________ (1) для так называемого течения Пуазёйля, то есть установившегося течения вязкой несжимаемой жидкости в тонкой цилиндрической трубе.
Закон связывает _________ (2) (объемную скорость) через сечение трубы с перепадом _________ (3) на концах её при заданных вязкости жидкости и геометрических размерах трубки.
Закон _________ (4) эмпирически в 1839 году немецким физиком и гидростроителем Готфильхом Генхрихом Хагеном, а в 1840—1841 годах — независимо от него французским врачом и физиком Жаном Луи Пуазёйлем.
Теоретически _________ (5) английским математиком и физиком Джорджем Габриэлем Стоксом в 1845 году.

1	гидродинамики
2	расход жидкости
3	давления
4	установлен
5	объяснён
оптики
сила внутреннего трения
уровня жидкости

Настройка модели оценивания

Оценивание: Мягкое

Вопрос на соответствие Вес: 2

Код: 121

Установите соответствие между формулами (законами) и учеными, которым эти формулы (законы) принадлежат.

формула силы трения в жидкости	Исаак Ньютон
закон расхода жидкости (объемная скорость жидкости)	Готфильх Генхрих Хагеном и Жан Луи Пуазёйль
закон для силы трения, действующей на твёрдый шарик при равномерном движении в жидкости	Джордж Габриэль Стокс
Николай Коротков
Осборн Рейнольдс
Даниил Бернулли

Настройка модели оценивания

Оценивание: Мягкое

Вопрос на соответствие Вес: 2

Код: 124

В опытах по опредлению вязкости глицерина методом Стокса при постоянной температуре использовали стальные шарики разного диаметра.
Шарики брали по мере увеличения диаметра. Как при этом меняются выталкивающая сила и плотность шарика?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения.

выталкивающая сила	увеличивается
плотность шарика	не изменяется
уменьшается

Настройка модели оценивания

Оценивание: Мягкое

Вопрос на соответствие Вес: 2

Код: 127

В опытах по опредлению вязкости глицерина методом Стокса при постоянной температуре использовали стальные шарики разного диаметра.
Шарики брали по мере увеличения диаметра. Путь, проходимый шариками в глицерине, не менялся.
Как при этом меняются скорость движения шарика, время движения шарика и равнодействующая сил?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения.

скорость движения шарика	увеличивается
время движения шарика	уменьшается
равнодействующая сил	не изменяется

Настройка модели оценивания

Оценивание: Мягкое

Вопрос на соответствие Вес: 2

Код: 129

В опытах по опредлению вязкости глицерина методом Стокса использовали одинаковые стальные шарики. Опыты проводили при повышении температуры.
Путь, проходимый шариками в глицерине, не менялся. Движение шарика считать равномерным.
Как при этом меняются сила трения и равнодействующая сил?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения.

сила трения	уменьшается
равнодействующая сил	не изменяется
увеличивается

Настройка модели оценивания

Оценивание: Мягкое

Вопрос на соответствие Вес: 2

Код: 131

В опытах по опредлению вязкости жидкости вискозиметром Гесса использовали одинаковую исследуемую жидкость.
Опыты проводили при повышении температуры.
Как при этом меняются объем исследуемой жидкости в вискозиметре и вязкость исследуемой жидкости?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения.

объем исследуемой жидкости	не изменяется
вязкость исследуемой жидкости	уменьшается
увеличивается

Настройка модели оценивания

Оценивание: Мягкое

Вопрос с выбором ответа Вес: 1

Код: 132

Согласно методу Стокса вязкость жидкости определяется по формуле: .
Как изменится скорость движения шарика в жидкости, если радиус шарика увеличить в 2 раза, а вязкость жидкости увеличить в 4 раза?

Согласно методу Стокса вязкость жидкости определяется по формуле: .
Как изменится скорость движения шарика в жидкости, если вязкость жидкости увеличить в 2 раза?

Согласно методу Стокса вязкость жидкости определяется по формуле: .
Как изменится скорость движения шарика в жидкости, если плотность шарика уменьшить?

Согласно методу Стокса вязкость жидкости определяется по формуле: .
Как изменится скорость движения шарика в жидкости, если плотность жидкости уменьшить?

Определите скорость движения шарика (см/с) в глицерине, если расстояние 40 см шарик проходит за 8 секунд.

Во сколько раз, согласно уравнению Гагена-Пуазейля, уменьшится артериальное давление, если под действием сосудорасширяющих препаратов радиус сосудов увеличится примерно на 10%?
Объемную скорость и вязкость крови считать неизменными. Результат запишите без округления.

На сколько процентов, согласно уравнению Гагена-Пуазейля, уменьшится артериальное давление, если под действием разжижающих кровь препаратов вязкость крови уменьшится примерно на 20%?
Объемную скорость и радиус сосудов считать неизменными.

На сколько процентов, согласно уравнению Гагена-Пуазейля, уменьшится артериальное давление, если под действием разжижающих кровь препаратов вязкость крови уменьшится примерно на 15%?
Объемную скорость и радиус сосудов считать неизменными.

Сколько процентов, согласно уравнению Гагена-Пуазейля, будет составлять артериальное давление от первоначального, если под действием разжижающих кровь препаратов вязкость крови уменьшится примерно на 20%?
Объемную скорость и радиус сосудов считать неизменными.

Сколько процентов, согласно уравнению Гагена-Пуазейля, будет составлять артериальное давление от первоначального, если под действием разжижающих кровь препаратов вязкость крови уменьшится примерно на 10%?
Объемную скорость и радиус сосудов считать неизменными.

Используя уравнение Гагена-Пуазейля для объемной скорости жидкости, выберите основные способы понижения артериального давления.
Объемную скорость крови считать постоянной.

уменьшение вязкости крови
увеличение вязкости крови
сужение сосудов
расширение сосудов

Определите единичный отрезок на горизонтальной оси (°С).

Определите единичный отрезок на вертикальной оси (мПа*с).

Для выполнения лабораторной работы по определению вязкости жидкости методом Стокса необходимы следущие приборы и принадлежности: секундомер, линейка, таблица плотностей.
Что еще необходимо для выполнения данной лабораторной работы?

прозрачная жидкость
непрозрачная жидкость
высокий прозрачный стакан
низкий непрозрачный стакан
пластмассовые шарики
стальные шарики
деревянные шарики
микрометр
рефрактометр

книги из ГПНТБ / Сборник задач и упражнений по теплотехнике авиационных двигателей

Только сегодня: скидка до 20% в подарок на первый заказ.
Какую работу нужно написать?

Другую работу

Помощник Анна

Тепло, участвующее в процессе, <7 = с ( 7а - Г,) —357 (432 - 288) = 51400 Д ж /кг. Полученные результаты должны удовлетворять 1-му зако ну термодинамики <7 — Д и /. 51,4= 103,4 — 52. Соотношение верно. 3.29. В результате сжатия воздуха в компрессоре темпера тура его увеличилась на 200°С, причем процесс сжатия харак теризовался величиной теплоемкости с = 0,239 кДж/(кг- К). Определить показатель политропы, работу сжатия и измене

ние внутренней энергии 1 кг воздуха,				если	начальная темпе
ратура	его	равнялась 0°С.	Принять	/? =	287	Дж/( кг — К) и
6 = 1,4.	Проиллюстрировать		процесс графически в системах
координат		р — v и Т — s.
От ве т :		я = 1 , 6 ; / = —95,7 кДж/кг; Да =				143,5 кДж/кг.

3.30. В двигателе внутреннего сгорания происходит сжатие

воздуха, причем объем его уменьшается в						7 раз. Известно, что
процесс сжатия			близок к политропному с показателем 1,34.
Начальные		параметры		воздуха	следующие:		давление
3,4 • 10 5	Па,	температура		120°С. Определить конечные пара
метры	воздуха		и работу	сжатия	1 кг	воздуха.	Принять
287	Дж/(кг		— К). Изобразить процесс в системах коор
динат р — v		и	Т — s .
О т в е т: р2=			18,9 • 10Г\| Па; Д 2 = 489°С;			/ = — 311,5кДж/кг.

3.31. В поршневом двигателе происходит процесс расшире ния газа, близкий к политропному процессу. При этом давле ние меняется от 85 • 10 5 до 5 ■10 5 Па, а температура — от 2530 до 1375°С. Определить показатель политропы и работу
расширения 1 кг газа. Принять/?— 288 Дж/(кг • К). Изобра

зить процесс в системах			координат	р — v и T — s.
Ответ :	л =1,23;	/ =	1447 кДж	кг.
3.32.	В процессе	политропного			расширения воздух совер

шает работу 250 кДж/кг дважды: первый раз — при подводе 170 кДж/кг тепла, второй раз — при отводе 60 кДж/кг тепла. Определить в обоих случаях показатель политропы расшире ния. В каком случае давление воздуха в конце процесса будет ниже при одинаковых начальных параметрах? Принять k — 1,4. Изобразить оба процесса в системах координат р — v и Т — s . Ответ : л1=1,128; п.г~ 1.496; давление будет ниже при отводе тепла. Решение. Установим связь между теплом в процессе q и работой /: Разделим 1-е уравнение на 2-е: <7 I Подставим значение теплоемкости n — k Отсюда // = k — (k — 1) J- Для 1 -го процесса пх— 1,4--(1,4—1) ;Щ| = 1,128. Для 2-го процесса «а = 1,4—(1,4—1) -—^ ^ - = 1,496.

Р	\| лл. а(2ё ~ / 70	‘
лл. а!2ё ~лл. а	! лл. а/2’t — -50 *&£
п=о

Нз графического изображения обоих процесеоз в коорди

натах	р — v (фиг. 3.5) следует, что при совершении воздухом
одной	и той лее работы (эквивалентной площадям а 12 b и

а 12′ Ь’) при отводе тепла (п •х. 1,5) давление в конце процес са расширения будет ниже, чем при подводе тепла (пхх 1,13). 3.33. В некоторой компрессорной установке сжимается во дух, причем затрачивается работа сжатия 280 кДж/кг. Опре делить показатель политропы сжатия в двух случаях: при под воде 250 кДж/кг тепла и при отводе 40 кДж/кг тепла. В каком случае давление воздуха в конце процесса будет выше при одинаковых начальных параметрах? Найти изменение внут ренней энергии и проиллюстрировать процессы в системах ко

ординат p — v	и T — s.	Принять k = 1,4.
Ответ : пх	= 1,757;	/г 2 = 1,343;

Давление будет выше при подводе тепла. Д«, =530 кДж/кг ; Ьщ — 240 кДж/кг,
Контрольные вопросы Какие из указанных ниже утверждений являются верны ми? 1. В изохорном процессе при повышении давления имеет место:

а)	рост и впадение Т ;
б)	падение и		и падение Т\
в)	рост и	и	рост Т ;
г)	падение	и	и рост Т .
2. В Т — х диаграмме линия изохорного процесса, соответ
ствующая большему объему:

а) смещается вверх;
б) смещается вниз;
в) остается неизменной.
3. В изобарном процессе расширения имеет место:
а)	подвод			и падение		и;
б)	отвод	q	и	падение		и ;
в)	отвод	q	и	рост	а ;
I’)	подвод	q	и рост		и.

4.	В Т—s диаграмме линия изобарного процесса,		соответ
ствующая большему давлению:
а) смещается вверх;
б) смещается вниз;
в)	остается неизменной.
5.	В	T — s диаграмме линия изобарного процесса	прохо
дит относительно линии изохорного процесса:
а) более круто;
б) более полого;
в)	эквидистантно.

6 . В изотермическом процессе расширения:

а)	и	растет и q	отводится;
б)	и	растет и q подводится;
в)	и	падает и q отводится;
г)	и	падает и q	подводится;
д)	и не меняется		и	q	подводится;
е)	и	не меняется и		q	отводится.

7. В изотермическом процессе при отводе тепла: а) р падает; б) р растет; в) р остается неизменным. 8 . В адиабатном процессе расширения имеет место:

а)	падение р и постоянство Т;
б)	падение р		и	падение	/’;
в)	падение	р	и	рост Т ;
г)	рост р	и	рост Т ;
д)	рост р и падение 7′;
е)	рост р	и	постоянство		Т.

9. В адиабатном процессе сжатия имеет место: а) рост а; б) падение и ; в) постоянство и; 10. В p — v координатах линия адиабатного процесса про ходит относительно линии изотермического процесса: а) более полого; б) более круто; в) эквидистантно. 11. В адиабатном процессе при падении температуры име ет место:

а)		рост	v	и рост				р ;
б)		падение		v	и падение р ;
н)		падение		v	и рост			р ;
г)	падение		v	и постоянство р ;
д)		рост	v	и постоянство р ;
е)		рост	v	и падение					р .
12 . В политроп-ном процессе расширения с показателем по
литропы	/г < 4 :
а)		отводится q и увеличивается и;
б)		отводится					и	уменьшается		и ;
в)		подводится			q	и увеличивается			и ;
г)	подводится			q	и уменьшается		и .
13. В политропном процессе сжатия с показателем политро
пы //	1 :
а)		подводится				q		и уменьшается			«;
б)		подводится			q	и увеличивается «;
в)	отводится			q	и увеличивается				и ;
г)	отводится			q		п уменьшается			и.
14. В политропном процессе расширения с показателем по
литропы	1
а)		подводится			q	и увеличивается				и;
б)		подводится			q		и уменьшается		и;
в)	отводится			q		и увеличивается			и;
г)	отводится			q	и уменьшается		и.
15. В политропном процессе сжатия с показателем поли
тропы	n > k \
а)	отводится q				и		увеличивается		и;
б)		отводится			q		и уменьшается			и ;
в)	подводится				и уменьшается			и;
г)	подводится					и	не меняется		и;
д)	отводится q и не меняется и ;
е)	подводится			q	и увеличивается			и .

Г Л А В А Ч Е Т В Е Р Т А Я ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ ДВИГАТЕЛЕЙ Вопросы для повторения 1. Дайте определение термодинамического цикла (круго вого процесса). 2. Как формулируется 1-й закон термодинамики для цик лов? 3. Из каких термодинамических процессов состоит цикл Карно? Изобразите его графически в системах координат р — v и Т — х . 4. Почему цикл Карно является мерой эффективности всех термодинамических циклов? 5. Напишите выражение для термического к.п.д. цикла Карцо. В каком случае термический к.п.д. равен 1? 6 . Докажите, что для заданного интервала температур тер мический к.п.д. цикла Карно самый наибольший. 7. В чем заключается расчет цикла? Какие величины при нимаются в качестве параметров цикла? Какое количество па раметров цикла однозначно определяет его? 8 . Назовите возможные способы подвода и отвода тепла в термодинамических циклах тепловых двигателей. 9. Из каких термодинамических процессов состоит идеаль ный воздушный цикл, лежащий в основе рабочего процесса газотурбинных двигателей (ГТД)? Изобразите его графически в системах координат р — v и T — s . 10. Охарактеризуйте идеальный воздушный цикл, лежа щий в основе рабочего процесса поршневого двигателя легко-

г I

■v,» ‘ ■	/ ‘ / /
/ / . ‘///У / /	/ / /

y / / / / 7 ^ 2 z M f S ‘Риг. 42 II р и м е ч а н и е : Знак «X» означает умножение, например, на фиг. 4.6 У’3= Г 4 Х « . Ji = T 1 X>- и т. д.
го топлива. Изобразите сто графически в системах координат р — v и Т — х . 11. Назовите и охарактеризуйте основные параметры цик ла Брайтона. Какая зависимость существует между ними? 12. Запишите и проанализируйте выражение для термичес кого к.п.д. цикла Брайтона. 13. От каких факторов зависит количество подведенного (отведенного) тепла в цикле Брайтона? 14. Запишите выражение для теопетической работы цик ла Брайтона Изобразите графически зависимости теоретичес кой работы от общей степени подогрева и от степени сжатия в цикле.

15.	Проиллюстрируйте i рафически в системе координат
Т — s	влияние степени сжатия на теоретическую работу цик

ла Брайтона. Дайте определение оптимальной степени сжатия. От каких факторов зависит она? 16. Какая зависимость существует между основными пара метрами цикла Отто? Как связаны между собой температуры (давления) в характерных точках цикла? 17. Запишите выражения для тепла, подведенного и отве денного в цикле Отто? 18. От каких факторов зависит термический к.п.д. цикла Огто? 19. Запишите и проанализируйте выражение для теорети ческой работы цикла Отто. Сравните его с аналогичным выра жением работы в цикле Брайтона. Задачи* 4.1. Определить термический к.п.д. и работу цикла Карно если максимальная температура в цикле равна 1500 К, а мини мальная 300ККоличество тепла, отведенного от воздуха в цикле, составляет 100 кДж/кг.

О т в е т: Tjt =		0,8;	/t = 400 кДж/кг.
* В задачах	данной		главы для воздуха принять:
ср — 1(к>5Дж (кг •	К);	cv =	718Дж (кг • К); R — 287 Дж (кг • К) и £=1,4.
Для определения	зависимости между			температурами (давлениями) в ха
рактерных точках цикла использовать				диаграммы на фиг. 4.3—4.6.

Решение. Термический к.п.д. цикла Карно v/ 1 — 1 — Т, 1 _ 300 = 0 , 8 . Т. 1500 Из выражения . _ Я\ ~ Я и га — —- -— определяется количество подведенного тепла

Ч\ —	Яп_	1 0 0	Г ПО п
	— Vt	—-— =		500 кдж кт.
1		—и.о

Теоретическая работа цикла / t = 9 , — qu = 500 — 100 = 400 кДж кг. 4.2. В цикле Карно в результате подвода 150 кДж/кг тепла рабочее тело совершило 100 кДж/кг работы. Определить тер мический к.п’.д. цикла и .максимальную температуру теплоотдатчика, если отвод тепла от рабочего тела в теплоприемник протекал при температуре 400 К. От ве т : Tjt = 0,667; 7^ = 1200 К- 4.3. Идеальный воздушный цикл ГТД совершается при стандартных начальных условиях ^/?1=1,013 • 10БП а^-^ввК ). При этом степень сжатия составляет 5, а степень изобарного подогрева равна 2,6. Определить: температуру в характерных точках цикла давление в конце процесса сжатия, плотность воздуха в конце процесса расширения, общую степень подогре ва, термический к.п.д. и работу цикла.

Ответ : Т3 = 456	К; Г, =	1185	К; Г* = 748 К;
= 5,06	• 10в Па;	&4 =	0,472 кт/ма ; 5=4,12:

/а = 0,37; / t = 271 кДж/кг.

Какое соотношение верно 400 па

Какое соотношение верно 400 па

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Панков Константин Николаевич

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Панков Константин Николаевич

Speeds of convergence in limit theorems for joint distributions of some random binary mappings characteristics

Текст научной работы на тему «Оценки скорости сходимости в предельных теоремах для совместных распределений части характеристик случайных двоичных отображений»

Какое соотношение верно 400 па

книги из ГПНТБ / Сборник задач и упражнений по теплотехнике авиационных двигателей

Добавить комментарий Отменить ответ