Какую точку отмечают после каждой остановки ротора

Балансировка электродвигателя

Как известно, электродвигатель (в дальнейшем ЭД) состоит из двух элементов – статического (статора) и подвижного (ротора). Последний при работе может вращаться на очень высокой скорости, которая составляет тысячи и десятки тысяч оборотов в минуту.

Дисбаланс ротора не только приводит к повышенной вибрации, но и может повредить сам ротор или весь электродвигатель. Также из-за этой проблемы увеличивается риск поломки всей установки, где используется этот ЭД.

Чтобы избежать этих негативных последствий, производится балансировка якорей электродвигателей – она же «балансировка ротора» или «балансировка электродвигателя».

Как производится балансировка роторов электродвигателей

Сбалансированный ротор – это ротор, у которого ось вращения совпадает с осью инерции. Правда, абсолютного баланса можно добиться лишь в идеальном мире, в реальности же всегда наблюдается хоть небольшой, но «перекос». И задача балансировки заключается в его минимизации.

Различают статическую и динамическую балансировку роторов.

Статическая балансировка ротора призвана устранить значительный дисбаланс масс относительно оси вращения. Она может быть произведена в домашних условиях, поскольку не требует использования специального оборудования. Достаточно призматических или дисковых фиксаторов. Также эта операция может производиться с использованием рычажных весов специальной конструкции.

Ротор размещается на призматическом или дисковом фиксаторе. После этого наиболее тяжелая его сторона перевешивает, и деталь прокручивается вниз. На нижней точке делают отметку мелом. Затем ротор перекатывают ещё четырежды, и после каждой окончательной остановки отмечают наиболее нижнюю точку.

Когда на роторе становится пять отметок, замеряют расстояние между крайними и на его середине делают шестую. Затем на диаметрально противоположной точке этой шестой отметки (точке максимального дисбаланса) устанавливают балансирующий груз.

Масса груза подбирается опытным путём. На точке противоположной максимальному дисбалансу устанавливаются утяжелители различной массы, после чего ротор прокручивается и останавливается в любом положении. Если всё ещё наблюдается дисбаланс – масса грузика уменьшается или увеличивается (в зависимости от того, в какую сторону провернулся ротор после остановки). Задача – подобрать такую массу утяжелителя, чтобы ротор после остановки в любом положении не проворачивался.

После определения нужной массы можно либо оставить груз, либо просто высверлить отверстие в полученной шестой точке – точке с максимальным дисбалансом. При этом масса высверленного металла должна соответствовать массе подобранного груза.

Такая статическая балансировка электродвигателя своими руками достаточно грубая и призвана устранить только серьёзные перекосы по массе нагрузки на валу. Есть и другие недостатки. Так, статическая балансировка якоря электродвигателя своими руками потребует многочисленных измерений и вычислений. Для повышения точности и скорости рекомендуется использовать динамический метод.

Для этого потребуется специальный станок для балансировки роторов электродвигателей. Он раскручивает размещённый на нём вал и определяет, по какой из осей наблюдается перекос массы. Динамическая балансировка роторов электродвигателей способна устранить даже мельчайшие отхождения оси инерции от оси вращения.

Динамическая балансировка вала электродвигателя производится компьютерным методом. Высокоинтеллектуальное оборудование, которое используется для этого процесса, способно самостоятельно подсказать, какой противовес и на какую сторону стоит установить.

Впрочем, найти станок для балансировки очень тяжелого или большого ротора довольно сложно. Обычно динамическая методика устранения перекоса применяется для сравнительно небольших ЭД независимо от мощности. Поэтому, выбирая способы балансировки и центровки электродвигателей, стоит обратить внимание не только на точность операции, но и на физическую возможность провести этот процесс для имеющегося вала.

Для оформления заказа позвоните менеджерам компании Кабель.РФ ® по телефону +7 (495) 646-08-58 или пришлите заявку на электронную почту zakaz@cable.ru с указанием требуемой модели электродвигателя, целей и условий эксплуатации. Менеджер поможет Вам подобрать нужную марку с учетом Ваших пожеланий и потребностей.

Лестницы. Входная группа. Материалы. Двери. Замки. Дизайн

Лестницы. Входная группа. Материалы. Двери. Замки. Дизайн » Пола » Статическая балансировка. Устройство и ремонт электрических машин — бандажирование и балансировка роторов и якорей Динамическая балансировка якорей электрических машин

Статическая балансировка. Устройство и ремонт электрических машин — бандажирование и балансировка роторов и якорей Динамическая балансировка якорей электрических машин

Большинство станков ремонтных заводов выполнены по принципу измерения величины вектора дисбаланса по максимальному отклонению опор на резонансных частотах вращения. Этим измеряется величина вектора. Направление вектора фиксируется следящей системой по углу поворота проверяемого тела вращения. Показатели суммируются в измерительном устройстве, по взаимной реакции катушек прибора, по принципу электродинамического ваттметра.

Первоначально замеряется существующий дисбаланс. Его коррекция заключается в установке балансировочных грузов предусмотренных чертежом изделия в направлении прямо противоположном измеренному вектору. Либо в небольшом снятии металла в направлении строго соответствующему измеренному вектору.

Грузы в зависимости от конструкции узла закрепляются временно или постоянно. Производится повторный замер вектора и корректировка установленных грузов, либо их, предусмотренное конструкцией, окончательное закрепление, если величина остаточного дисбаланса соответствует допускаемой

Серийно выпущенные станки для динамической балансировки

Весьма широко применяются станки производства Минского станкостроительного завода типа 9717, 9718, 9719. Это оборудование имеет значительные габариты и требует для установки железобетонных фундаментов большого объема. На них осуществляется балансировка деталей и сборочных единиц от 0,5 до 5.0 тонн. Это якоря электрических машин и колесные пары. С середины 80-х годов была изменена конструкция фланцев якорей генераторов. Внешняя поверхность гнезда под установку кольца для центровки выполнена в виде удлиненного бурта цилиндрической формы, которая может непосредственно служить базовой поверхностью при динамической балансировке якоря. Это позволило отказаться от установки дополнительных втулок, уменьшить трудоемкость операции и увеличить ее точность.

Рис.20 Балансировка якоря на станке 9719

Новое поколение станков

В последнее время на заводах появилось новое поколение балансировочных станков предлагаемых сегодня рынком. В частности это станки фирмы «ДИАМЕХ». Особенностью станков является то, что замер дисбаланса производится не за счет максимального отклонения подвижных подшипниковых опор, а за счет реакции жестко закрепленных опор. При этом сама реакция измеряется как величина напряжений тензометрическим способом при помощи встроенных датчиков. Все результаты суммируются и обрабатываются на встроенном в станок компьютере с выводом информации на дисплей.

Данная конструкция станка не требует фундаментов для своего монтажа. Установка станка осуществляется непосредственно на поверхности полов. Габариты этих станков незначительно превышают габариты изделия подвергаемого балансировке.

Рис.21 Динамическая балансировка на станке ВМ3000 фирмы ДИАМЕХ

Весьма характерной деталью для станков нового поколения является отсутствие фундамента и передача детали вращения ременным приводом.

После ремонта роторы электрических машин в сборе с вентиляторами и другими вращающимися частями подвергают статической или динамической балансировке на специальных балансировочных станках. Эти станки служат для выявления неуравновешенности массы ротора, являющейся основной причиной возникновения вибрации при работе машины. Вибрация, вызванная центробежными силами, достигающими при большой частоте вращения несбалансированного ротора значительных величин, может стать причиной разрушения фундамента и аварийного выхода машины из строя.

Для статической балансировки роторов и якорей служит станок (рис. 12, а), представляющий собой опорную конструкцию из профильной стали и установленными на ней призмами трапециевидной формы. Длина призм должна быть такой, чтобы ротор мог сделать на них не менее двух оборотов.

Ширину рабочей поверхности призм станков для балансировки роторов массой до 1 т принимают равной 3—5 мм. Рабочая поверхность призм должна быть хорошо отшлифована и способна, не деформируясь, выдерживать массу балансируемого ротора.

Статическую балансировку ротора на станке производят в такой последовательности. Ротор укладывают шейками вала на рабочие поверхности призм. При этом ротор, перекатываясь на призмах, займет такое положение, при котором его наиболее тяжелая часть окажется внизу.

Для определения точки окружности, в которой должен быть установлен балансирующий груз, ротор 5—6 раз перекатывают и после каждого останова отвечают мелом нижнюю «тяжелую» точку. После этого на небольшой части окружности ротора окажется пять меловых черточек.

Отметив середину расстояния между крайними меловыми отметками, определяют точку установки уравновешивающего груза: она находится в месте, диаметрально противоположном средней «тяжелой» точке. В этой точке устанавливают уравновешивающий груз, массу которого подбирают опытным путем до тех пор, пока ротор не перестанет перекатываться, будучи оставлен в любом произвольном положении. Правильно сбалансированный ротор после перекатывания в одном и другом направлениях должен во всех положениях находиться в состоянии безразличного равновесия.

При необходимости более полного обнаружения и устранения оставшегося небаланса, окружность ротора делят на шесть равных частей. Затем, укладывая ротор на призмах так, чтобы каждая из отметок поочередно находилась на горизонтальном диаметре, в каждую из шести точек поочередно навешивают небольшие грузы до тех пор, пока ротор не выйдет из состояния покоя. Массы грузов для каждой из шести точек будут различными. Наименьшая масса будет в «тяжелой» точке, наибольшая — в диаметрально противоположной точке ротора.

При статическом методе балансировки уравновешивающий груз устанавливают только на одном торце ротора и таким образом устраняют статический небаланс. Однако этот способ балансировки применим только для коротких роторов и якорей мелких и тихоходных машин. Для уравновешивания масс роторов и якорей крупных электрических машин с большей частотой вращения (более 1000 об/мин) применяют динамическую балансировку, при которой уравновешивающий груз устанавливают на обоих торцах ротора. Это объясняется тем, что при вращении ротора с большой частотой каждый его торец имеет самостоятельное биение, вызванное не-сбалансированными массами.

Для динамической балансировки наиболее удобен станок резонансного типа (рис. 12, б), состоящий из двух сварных стоек 1, опорных плит 9 и балансировочных головок. Головки состоят из подшипников 8, сегментов 6 и могут быть закреплены неподвижно болтами 7 либо свободно качаться на сегментах. Балансируемый ротор 2 приводится во вращательное движение электродвигателем 5. Муфта расцепления 4 служит для отсоединения вращающегося ротора от привода в момент балансировки.

Динамическая балансировка роторов состоит из двух операций: измерения первоначальной величины вибрации, дающей представление о размерах неуравновешенности масс ротора; нахождения точки размещения и определения массы уравновешивающего груза для одного из торцов ротора.

При первой операции головки станка закрепляют болтами 7. Ротор электродвигателем приводится во вращение, после чего привод отключают, расцепляя муфту, и освобождают одну из головок станка. Освобожденная головка под действием радиально направленной центробежной силы небаланса раскачивается, что позволяет стрелочным индикатором 3 измерить амплитуду колебания головки. Такое же измерение производят для второй головки.

Вторую операцию выполняют методом «обхода грузом». Разделив обе стороны ротора на шесть равных частей, в каждой точке поочередно закрепляют пробный груз, который должен быть меньше предполагаемого небаланса. Затем описанным выше способом измеряют колебания головки для каждого положения груза. Самым удоб-ным местом размещения груза будет точка, в которой амплитуда колебаний была минимальной.

Массу уравновешивающего груза Q (кг) определяют по формуле:

где Р—масса пробного круга, К0—первоначальная амплитуда колебаний до обхода пробным грузом, К min— минимальная амплитуда колебаний при обходе пробным грузом.

Закончив балансировку одной стороны ротора, таким же способом балансируют вторую сторону. Балансировка, считается удовлетворительной, если центробежная сила оставшейся неуравновешенности не превышает 3% массы ротора. Это условие можно считать выполненным, если амплитуда оставшихся колебаний головки балансировочного станка находится в пределах, определяемых выражением:

Где Вр— масса балансируемого ротора, т.

После окончания балансировки временно установленный на роторе груз закрепляют. В качестве балансировочного груза используют куски полосовой или квадратной стали. Груз крепят к ротору сваркой или винтами. Крепление груза должно быть надежным, так как недостаточно прочно закрепленный груз может в процессе работы машины оторваться от ротора и стать причиной аварии или несчастного случая. Закрепив груз постоянно, ротор подвергают проверочной балансировке, затем передают в сборочное отделение для сборки машины.

Отремонтированные электрические машины подвергают послеремонтным испытаниям по установленной программе: они должны удовлетворять требованиям, предъявляемым к ней стандартами или ТУ.

На ремонтных предприятиях проводят следующие виды испытаний: контрольные — для определения качества электрооборудования; приемо-сдаточные — при сдаче отремонтированного электрооборудования ремонтным предприятием и приеме заказчиком; типовые, после внесения изменения в конструкцию электрооборудования или технологию его ремонта для оценки целесообразности внесенных изменений. В ремонтной практике чаще всего применяют контрольные и приемо-сдаточные испытания.

Каждую электрическую машину после ремонта вне зависимости от его объема подвергают приемо-сдаточным испытаниям. При испытаниях, выборе измерительных приборов, сборке схемы измерений, подготовке испытуемой электрической машины, установлении методики и норм испытаний, а также для оценки результатов испытаний используют соответствующие стандарты и ресурсы.

Если при ремонте машины не изменена её мощность или частота вращения, после капитального ремонта машину подвергают контрольным испытаниям, а при изменении мощности или частоты вращения — типовым испытаниям.

2.16. Балансировка роторов и якорей

Отремонтированные роторы и якоря электрических машин направляют на статическую, а при необходимости и на динамическую балансировку в сборе с вентиляторами и другими вращающимися частями. Балансировку производят на специальных станках для выявления неуравновешенности (дисбаланса) масс ротора и якоря. Причинами неравномерного распределения масс могут быть: разная толщина отдельных деталей, наличие в них раковин, неодинаковый вылет лобовых частей обмотки и др. Любая деталь ротора или якоря может быть неуравновешенной в результате сдвига осей инерции относительно оси вращения. Неуравновешенные массы отдельных деталей в зависимости от их расположения могут суммироваться или взаимно компенсироваться.
Роторы и якоря, в которых центральная ось инерции не совпадает с осью вращения, называют неуравновешенными.
Вращение неуравновешенного ротора или якоря вызывает вибрацию, которая может разрушить подшипники и фундамент машины. Чтобы этого избежать, производят балансировку роторов, которая заключается в определении размеров и мест неуравновешенной массы и устранении дисбаланса.
Неуравновешенность определяют статической или динамической балансировкой. Выбор способа балансировки зависит от точности уравновешивания, которую можно осуществить на данном оборудовании. При динамической балансировке получают лучшие результаты компенсации неуравновешенности, чем при статической.

Статическую балансировку выполняют при невращающемся роторе на призмах, дисках или специальных весах (рис. 2.45). Для определения неуравновешенности ротор выводят из равновесия легким толчком. Неуравновешенный ротор будет стремиться вернуться в такое положение, когда его тяжелая сторона окажется внизу. После остановки ротора мелом отмечают место, которое оказалось в верхнем положении. Процесс повторяют несколько раз. Если ротор останавливается в одном и том же положении, значит центр его тяжести смещен.

Рис. 2.45. :
а — на призмах; б — на дисках; в — на специальных весах; 1 — груз; 2 — грузовая рамка; 3 — индикатор; 4 — рама; 5 — ротор (якорь)
В определенном месте (чаще, всего это внутренний диаметр обода нажимной шайбы) устанавливают пробные грузы, прикрепляя их замазкой. После этого повторяют прием балансировки. Увеличивая или уменьшая массы грузов, добиваются остановки ротора в произвольном положении. Это означает, что ротор статически уравновешен.
По окончании балансировки пробные грузы заменяют одним грузом той же массы.
Неуравновешенность можно компенсировать высверливанием соответствующей части металла из тяжелой части ротора.
Более точной, чем на призмах и дисках, является балансировка на специальных весах.
Статическую балансировку применяют для роторов с частотой вращение не более 1000об/мин. Статически -уравновешенный ротор может быть динамически неуравновешенным, поэтому роторы с частотой вращения более 1000 об/мин подвергают динамической балансировке, при которой устраняется и статическая неуравновешенность.
Динамическая балансировка ротора, которую выполняют на балансировочном станке, состоит из двух операций: измерение первоначальной вибрации; нахождение точки расположения и массы уравновешивающего груза для одного из торцов ротора.
Балансировку производят с одной стороны ротора, а потом с другой. После окончания балансировки груз закрепляют сваркой или винтами. Затем выполняют проверочную балансировку.

7-6. БАЛАНСИРОВКА РОТОРОВ

Если вращающаяся часть машины не уравновешена, то при вращении ее появляется сотрясение (вибрация) всей машины. Вибрация вызывает разрушение подшипников, фундамента и самой машины. Для устранения

вибрации вращающиеся части должны быть отбалансированы. Различают балансировку статическую, выполняемую на призмах, и динамическую при вращении балансируемой детали. Если, например, ротор, изображенный на рис. 7-9,а, имеет более тяжелую половину //, то при вращении центробежная сила этой половины будет больше центробежной силы половины /. Она будет создавать давление на подшипники, переменное по на-

Рис. 7-9. Смещение центра тяжести ротора,

правлению, и вызывать сотрясение машины. Такай небаланс устраняется статической балансировкой на призмах. Ротор шейками вала ставится «а призмы, точно выверенные по горизонтали, и при этом, естественно, поворачивается тяжелой стороной вниз. На верхнюю сторону в специальные канавки, которые предусматриваются в нажимных шайбах и обмоткодержателях, подбирают и ставят свинцовые грузы такого веса, чтобы ротор оставался.на призмах в безразличном положении. После балансировки свинцовые грузы обычно заменяют на стальные одинакового веса, которые надежно приваривают или привертывают к ротору. Однако для длинных якорей и роторов статической балансировки недостаточно. Даже если отбалансировать обе половины ротора так, что веса обеих половин будут одинаковыми (рис. 7-9,6), то может оказаться, что центры тяжести сдвинуты по оси машины. В этом случае центробежные силы двух половин не могут уравновесить друг друга, а создают пару сил, вызывающую переменное давление на подшипники. Для устранения действия этой пары сил должны быть размещены специальные грузы (рис. 7-9,6) с тем, чтобы создать пару сил, действующую обратно паре сил.небаланса. Найти величину и положение этих

грузов можно путем балансировки вращающегося ротора (динамическая балансировка).

Перед проведением динамической балансировки следует проверить рабочие поверхности ротора (шейки и концы вала, коллектор, контактные кольца, сталь ротора) на отсутствие биения и при необходимости устранить его. Если для установки ротора на станок приме-

Рис. 7-10. Схема динамической балансировки,

«лютея какие-либо оправки, то они должны быть проверены на отсутствие биения и небаланса.

Па роторе не должно быть плохо закрепленных деталей, так как в этом случае балансировка невозможна. Для проведения динамической балансировки ротор укладывают в подшипники специального станка. Эти подшипники укреплены на плоских пружинах и по желанию могут либо быть закреплены неподвижно специальным тормозом, либо совершать свободные колебания вместе с пружиной (рис. 7-10,а). Ротор при помощи электродвигателя и муфты приводится во вращение. Появляющаяся при этом сила небаланса, которая направлена радиально, будет раскачивать подшипники станка. Для проведения балансировки один подшипник закрепляется тормозом неподвижно, второй освобождается и под влиянием небаланса колеблется. На какой-либо точно обработанной поверхности ротора, концентричной с осью вала, делают цветным карандашом отметку, показывающую точку наибольшего отклонения ротора (рис. 7-10,6).

Однако по этой точке еще нельзя точно определить

место, где находится небаланс ротора, так как наибольшее отклонение ротора получается после прохождения силы небаланса через горизонтальную плоскость, в которой находится отметчик (карандаш).

Угол сдвига (т. е. угол между точкой небаланса и отметкой) зависит от отношения скорости вращения к собственной частоте колебания ротора на опорах, т. е. к частоте колебаний, которые будут иметь место, если толкнуть невращающийся ротор, установленный на опорах станка.

При совпадении числа оборотов в секунду с собственной частотой имеет место резонанс. Колебания приобретают наибольший размах и, следовательно, станок становится наиболее чувствительным. Поэтому стремятся вести балансировку при резонансном числе оборотов. При этом указанный выше угловой сдвиг становится близким к 90° и, следовательно, место небаланса может быть найдено отсчетом от середины отметки-90° вперед по вращению (а место установки груза 90° против вращения). Если же почему-либо работать на резонансной скорости нельзя, то для определения места положения небаланса повторяют описанный опыт при обратном направлении вращения при том же числе оборотов в ми-иуту. Отметку делают карандашом другого цвета. Тогда середина между двумя отметками определяет место, где находится небаланс. В диаметрально противоположной точке устанавливают балансный груз. Величину этого груза определяют подбором до исчезновения вибрации подшипника. Вместо укрепления груза балансировка может быть получена путем высверливания противополож-«ой части якоря. После того как отбалансирована одна сторона ротора, подшипник этой стороны закрепляют неподвижно, а подшипник второй стороны освобождают и аналогичными приемами балансируют вторую сторону. После этого проверяют балансировку первой стороны и в случае необходимости корректируют и т. д.

В настоящее время существует большое число станков для динамической балансировки, на которых местоположения и величины груза определяются достаточно удобно и точно. Методы работы на этих станках даются в инструкциях заводов-изготовителей.

При отсутствии специальных станков динамическая балансировка может производиться на прочных дере-

вянных брусьях, уложенных на резиновые прокладки. На эти брусья кладут либо непосредственно шейки вала балансируемого ротора, либо вкладыши подшипников, в которых лежат шейки вала. При помощи клиньев брусья могут закрепляться неподвижно. Ротор разворачивается ременной передачей, охватывающей непосредственно сталь, затем клин вынимается, и подшипник получает возможность колебаться на резиновых подкладках. Процесс балансировки аналогичен описанному выше.

В условиях ремонта, в особенно для крупных машин, целесообразна балансировка в собранном виде [Л. 8]; для этой цели машину запускают вхолостую и измеряют вибрацию подшипников Это измерение следует производить при помощи виброметров (например, типов ВР-1, ВР-3, 2ВК, ЗВК).

При отсутствии виброметров вибрацию можно измерить индикатором, укрепленным на массивной тяжелой рукоятке Прижимая щуп такого индикатора к колеблющейся детали, можно по ширине размытого очертания стрелки определить величину размаха колебания

Следует иметь в виду, что показания такого виброметра сильно зависят от скорости вращения и что поэтому его показания можно яопользавать главным образом как сравнительные при одном и том же числе оборотов машины, что достаточно для целей балансировки.

Измеряя вибрацию подшипника в различных направлениях, находят точку наибольшей вибрации. По этой точке и ведется балансировка.

Для нахождения величины и местоположения балансировочного груза на ротор в произвольную точку помещают пробный груз и снова измеряют вибрацию. Очевидно, что, изучив, как влияет на вибрацию пробный груз, величина и местоположение которого известны, можно определить и величину небаланса и место его положения. Если можно измерить, как в результате установки пробного груза именяется величина и фаза вибрации (см. ниже), то можно обойтись двумя измерениями: до и после установки пробного груза. Если же определить изменение фазы нельзя, то необходимо сделать большее (3-4) число измерений величины вибрации. Пробный груз помещается при этом вначале в какую-либо произвольную точку, а затем поочередно в точки, отстоящие на Уз окружности вправо и влево от первой.

Для определения изменения фазы можно прибегнуть к отметкам на валу, как это описывалось выше. Вал при этом закрашивается мелом и острой чертилкой осторож-«0 наносятся (по возможности короткие) метки, середи-!на которых соответствует наибольшему отклонению вала в плоскости, где расположен отметчик (чертилка). Угловое расстояние (угол а) между метками при отсутствии пробного груза и при его наличии является мерой сдвига фазы колебания, обусловленного внесением пробного груза.

Более точно сдвиг фазы определяется стробоскопическим способом. В этом случае на торец вала наносится метка, освещаемая вспышками газосветной лампы. Эта лампа управляется специальным контактом, имеющимся з виброметре, который замыкается 1 раз за оборот вала в момент, близкий к наибольшему размаху колебания.

Метка на вращающемся валу кажется при этом неподвижной (поскольку лампа освещает ее каждый раз в тот момент, когда она, пройдя один оборот, окажется точно в том же положении), и против нее «а неподвижной части машины также может быть нанесена метка.

После внесения пробного груза отметка на валу сдвигается относительно отметки на неподвижной части. Нанеся вторую отметку на неподвижной части, соответствующую новому положению отметки на валу, и измерив угловое расстояние (угол а) между ними, определяем угол сдвига фазы колебания.

Возможность определения фазы стробоскопическим способом предусмотрена в специальных балансировочных виброскопах системы Колесника 2ВК, ЗВК, выпускаемых Ленинградским инструментальным заводом, и в виброскопах типа БИП Киевского электромеханического завода

Графический метод определения местоположения груза виден из рис. 7-11,а. Здесь отрезок-„вектор» оа в определенном масштабе равен размаху колебания подшипника до внесения пробного груза. Пробный груз Р тр ставится в плоскости, сдвинутой от отметки, полученной при этом на валу на какой-либо угол, например на 90°,-линия О В. Измерив теперь размах колебания подшипника (при том же числе оборотов в минуту), отметив новую метку и определив угловой сдвиг между отметками — а, отложим теперь в том же масштабе под углом « к вектору оа вектор ob,

Очевидно, что если вектор оа изображает вибрацию от небаланса, вектор ob вибрацию от совместного дей-ствия пробного груза и небаланса, то разностный век. тор аЪ определяет величину и фазу вибрации, вызванную пробным грузом.

Рис 7-11 Определение величины и местоположения балансировочных грузов

Для того чтобы уничтожить вибрацию от небаланса надо повернуть вектор ab на угол § и увеличить его так, чтобы он был равен вектору оа и направлен против него. Очевидно, что для этого пробный груз Р гр должен быть сдвинут из точки В в точку С (на угол S) и увеличен в отношении отрезков ^-. Балансировочный груз

i должен быть, следовательно, равен:

Аналогичным способом балансируется вторая сторона машины, но определенный для этой стороны груз Q»z распределяется на два груза Q 2 и Q H . Делается это с той целью, чтобы не нарушить балансировку первой стороны.

где размеры т, п, a, b, RiR^R 3 видны из рис. 7-111,б. Несмотря на такое распределение груза Q»2, приходится обычно еще раз производить (корректировочную) балансировку.первой стороны после того, как установлены грузы Q 2 и СЬ Д.

Наиболее просто качество балансировки может быть проверено путем установки машины на гладкостроганую горизонтальную плиту. При удовлетворительной балансировке машина, работающая с номинальным числом оборотов, не должна иметь качаний и перемещений по плите. Проверка производится при холостом ходе в режиме двигателя.

Для статической балансировки служит станок, представляющий собой опорную конструкцию из профильной стали с установленными на ней призмами трапециевидной формы. Длина призм должна быть такой, чтобы ротор мог сделать на них не менее двух оборотов.

Ширина рабочей поверхности призм а определяется по формуле:

где: G — нагрузка на призму, кг; Е — модуль упругости материала призмы, кг/см 2 ; р — расчетная удельная нагрузка, кг/см 2 (для твердой закаленной стали р = 7000 — 8000 кг/см 2); d — диаметр вала, см.

Практически ширину рабочей поверхности призм балансировочных станков для балансировки роторов массой до 1 т принимают 3 — 5 мм. Рабочая поверхность призм должна быть хорошо отшлифована и способна, не деформируясь, выдерживать массу балансируемого ротора.

Станки для балансировки роторов (якорей) электрических машин:

а — статической, б — динамической;

1 — стойка, 2 — балансируемый ротор, 3 — стрелочный индикатор, 4 — муфта расцепления, 5 — электродвигатель привода, б — сегменты, 7 — зажимные болты, 8 — подшипник, 9 — плита.

Статическая балансировка ротора на станке производится в такой последовательности. Ротор укладывают шейками вала на рабочие поверхности призм. При этом ротор, перекатываясь на пркзмах, займет такое положение, при котором его наиболее тяжелая часть окажется внизу.

Для определения точки окружности, в которой должен быть установлен балансирующий груз, ротор пять раз перекатывают и после каждой остановки отмечают мелом нижнюю «тяжелую» точку. После этого на небольшой части окружности ротора окажется пять меловых черточек.

Отметив середину расстояния между крайними меловыми отметками, определяют точку установки уравновешивающего груза: она находится в месте, диаметрально противоположном средней тяжелой токе. В этой точке и устанавливают уравновешивающий груз.

Массу его подбирают опытным путем до тех пор, пока ротор не перестанет перекатываться, будучи остановлен в любом произвольном положении. Правильно сбалансированный ротор после перекатывания в одном и другом направлениях должен во всех положениях находиться в состоянии безразличного равновесия.

При необходимости более полного обнаружения и устранения оставшегося небаланса окружность ротора делят на шесть равных частей. Затем, укладывая ротор на призмах так, чтобы каждая из отметок поочередно находилась на горизонтальном диаметре, в каждую из шести точек поочередно навешивают небольшие грузы до тех пор, пока ротор не выйдет из состояния покоя.

Массы грузов для каждой из шести точек будут различными. Наименьшая масса будет в тяжелой точке, наибольшая — в диаметрально противоположной точке ротора.

При статическом методе балансировки уравновешивающий груз устанавливают только на одном торце ротора и таким образом устраняют статический небаланс.

Однако этот способ балансировки применим только для коротких роторов мелких и тихоходных машин. Для уравновешивания масс роторов крупных электрических машин (мощностью свыше 50 квт) с большими скоростями вращения (больше 1000 об/мин) применяют динамическую балансировку, при которой уравновешивающий груз устанавливают на обоих торцах ротора.

Это объясняется тем, что при вращении ротора с большой скоростью каждый его торец имеет самостоятельное биение, вызванное несбалансированными массами.

«Ремонт электрооборудования промышленных предприятий»,
В.Б.Атабеков

В современных электрических машинах применяют главным образом шариковые или роликовые подшипники качения. Они просты в эксплуатации, хорошо противостоят резким колебаниям температуры, легко могут быть заменены при износе. Подшипники скольжения применяют в крупных электрических машинах. Подшипники качения При ремонте электрической машины с подшипниками качения, как правило, ограничиваются промывкой подшипников и закладкой в них новой порции соответствующей…

Заключительными этапами проверки ремонтируемого электродвигателя являются измерения зазоров и пробный пуск. Величины зазоров измеряют при помощи набора стальных пластин — щупов толщиной от 0,01 до 3 мм. У асинхронных машин измеряют зазор с обоих торцов в четырех точках между активной сталью ротора и статора. Зазор должен быть одинаковым по всей окружности. Величины зазоров в диаметрально…

Степень износа подшипников качения определяют, измеряя их радиальные и аксиальные (осевые) зазоры на несложных приспособлениях, изготовляемых в мастерских электроцеха предприятия. Для замера на таком приспособлении радиального зазора подшипник 11 устанавливают на вертикальной плите 8 приспособления. Наложив на внутреннее кольцо 2 подшипника стальную шланку 10, закрепляют его гайкой, навернутой на стержень 9 приваренный к вертикальной плите;…

В практике ремонта электрических машин нередко возникает необходимость в расчете обмоток или пересчете их на новые параметры. Расчеты обмоток производят обычно при отсутствии у электродвигателя, подлежащего ремонту, паспортных данных или в случае поступления в ремонт двигателя без обмотки. Потребность в пересчете обмоток возникает также при необходимости изменения числа оборотов или напряжения, переделке односкоростных двигателей на…

К токособирательной системе электрических машин относят коллекторы, контактные кольца, щеткодержатели с траверсами и щеткоподъемным механизмом, короткозамыкающие кольца фазных роторов старых конструкций. В процессе работы машины отдельные элементы токособирательной системы изнашиваются, вследствие чего нарушается ее нормальная работа. Наиболее распространенными дефектами токособирательной системы являются: недопустимый износ коллектора и контактных колец, появление на их рабочих поверхностях неровностей и…

Правила и технология выполнения основных работ при текущем содержании пути, утверждённые МПС РФ № ЦПТ-52 от 30.06.1997

ПРАВИЛА
И ТЕХНОЛОГИЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ОСНОВНЫХ РАБОТ
ПРИ ТЕКУЩЕМ СОДЕРЖАНИИ ПУТИ

Заместитель начальника
Департамента пути
и сооружений
В.Б.КАМЕНСКИЙ
30 июня 1997 года

1. Основные положения

1.1. Характеристика работ по текущему содержанию пути
и предъявляемые к ним требования

При текущем содержании пути выполняются работы, связанные с постоянным поддержанием элементов пути (верхнего строения, земляного полотна, искусственных сооружений, переездов, путевых и сигнальных знаков, электрических рельсовых цепей, полосы отвода, снего- и пескозащитаых устройств и др.) в состоянии, обеспечивающем безопасный пропуск поездов с установленными скоростями.

Работы по текущему содержанию пути делятся на неотложные, первоочередные и планово-предупредительные.

Состав и объемы указанных работ изменяются в зависимости от вида отступления, конструкции верхнего строения, плана и профиля пути, грузонапряженности, скоростей движения поездов, наработки тоннажа, климатических условий, времени года, применяемых технических средств и др.

Неотложные и первоочередные работы связаны с устранением неисправностей пути, которые либо сами по себе, либо при стечении неблагоприятных обстоятельств (например, при наличии отступления в содержании подвижного состава или нарушений режима ведения поезда и др.) могут стать угрожающими для безопасности движения поездов или перерасти в таковые в период до очередной проверки пути, если их не ликвидировать. Поэтому в зависимости от степени неисправности (ее характера и размеров), она устраняется либо без промедления, либо в первую очередь (в течение двух-трех дней после обнаружения). Такие неисправности возникают в отдельных местах пути, как правило, непредвиденно и их устранение предусматривается по мере обнаружения в процессе осмотров и проверок пути.

К неотложным работам относятся: замена остродефектных или изломавшихся рельсов, остряков и крестовин на стрелочных переводах; устранение отступлений IV степени (и приравненных к ним) в содержании рельсовой колеи по показаниям путеизмерительного вагона и других путеизмерительных средств или обнаруженных при осмотре пути; устранение разрывов стыков (из-за среза стыковых болтов), слитых зазоров в более чем двух рельсовых стыках подряд в период ожидания повышения температуры рельсов и другие работы, связанные с ликвидацией неисправностей пути, угрожающих безопасности движения поездов.

К первоочередным относятся работы, связанные с устранением отступлений III степени в содержании рельсовой колеи по показаниям путеизмерительного вагона и других путеизмерительных средств, Ликвидацией просадок пути в стыках с выплесками, регулировкой стыковых зазоров в тех местах, где имеются близкие к нулевым зазоры в стыках в период ожидаемого повышения температуры рельсов или предельно растянутые зазоры в период ожидаемого понижения температуры рельсов и др.

Планово-предупредительные работы направлены на предупреждение (профилактику) появления неисправностей пути, вызывающих уменьшение установленных скоростей движения поездов, например, устранение небольших по размерам, но часто повторяющихся по протяжению пути отступлений II степени в содержании рельсовой колеи по показаниям путеизмерительного вагона, замена отдельных дефектных элементов верхнего строения, закрепление ослабших болтов и др.

В отличие от неотложных и первоочередных планово-предупредительные работы заранее планируются. Они, как правило, выполняются сплошь на участке с отступлениями (звене, пикете, километре, нескольких километрах), например, выправка пути с подбивкой шпал на участке с большим количеством отступлений II степени по уровню, перекосам, просадкам, отклонениям в плане и др.

По назначению и характеру технологических операций, планово-предупредительные работы подразделяются на узкоцелевые (самостоятельные), состоящие только из одного вида работ (например, рихтовка пути, закрепление болтов, добивка костылей) и комплексные (аналогичные подъемочному ремонту пути), включающие в себя несколько видов самостоятельных работ, совокупное выполнение которых восстанавливает на длительное время стабильность пути и резко сокращает объемы неотложных и первоочередных работ.

В зависимости от используемых технических средств и численности путевой бригады работы делятся на выполняемые с применением машин, механизмов и ручного инструмента. При этом они могут выполняться как укрупненной бригадой монтеров пути (12-18 чел.), например, сплошная планово-предупредительная выправка пути с применением электрошпалоподбоек, так и малочисленной (2-3 чел.) группой, например, перешивка колеи, довертывание гаек стыковых, клеммных и закладных болтов, шурупов и др.

Работы делятся на выполняемые в интервалы времени между поездами ив технологические перерывы, заложенные в график движения поездов, или в специально предоставляемые по заявке начальника дистанции пути «окна». Причем, перечисленные условия работы чередуются между собой практически ежедневно (утром — работа в интервалы; затем — в «окно», и вновь в интервалы). В связи с этим при проектировании организации и технологии работ по текущему содержанию пути должна учитываться их связь с движением поездов. Если работы выполняются в интервалы между поездами, предусматривается использование переносных, легко снимаемые с пути перед пропуском поезда, механизмов и ручного инструмента; при выполнении работе «окна» — путевых машин и другого тяжелого оборудования.

Бригадир пути и дорожный мастер должны помнить, что прежде чем устранять неисправность пути, необходимо установить первоначальную причину ее появления и ликвидировать при производстве работ. В противном случае в том же месте она быстро появится вновь. Например, если грубая просадка стыка является следствием наличия в нём выплеска, то прежде чем ее выправлять и подбивать шпалы, необходимо прогрохотать загрязненный щебень в шпальных ящиках с выплесками на глубину не менее 10 см ниже подошвы шпал. Если при этом рельс в стыке имеет смятие, его следует наплавить или заменить, а также отрегулировать зазор.

Все путевые работы, выполняемые двумя и более монтерами пути, должны производиться под руководством и постоянным наблюдением освобожденного или неосвобожденного от непосредственного выполнения работ должностного лица в соответствии с Инструкцией по обеспечению безопасности движения поездов при производстве путевых работ, которое несет ответственность за правила, технологию, качество выполнения работ и обеспечение безопасности движения поездов при их производстве, а также технику безопасности работающих.

Накануне производства работ, ограждаемых переносными сигналами остановки или уменьшения скорости и требующих следования поездов по месту работ с особой бдительностью, должна даваться заявка о выдаче всем машинистам поездов и других железнодорожных транспортных средств предупреждении об остановке у красного сигнала, снижении скорости и подаче оповестительных сигналов при подъезде к месту работы.

Нельзя приступать к выполнению работ до тех пор, пока их руководитель не убедится, что предупреждения на поезда выдаются. Исключение могут составлять внезапные работы, требующие немедленного ограждения места работ сигналами остановки или уменьшения скорости, о чем сообщается дежурному по станции.

Предупреждения об особой бдительности машинистов локомотивов и других видов рельсового транспорта и подаче ими оповестительных сигналов при подъездеде к месту производства работ выдаются также в случаях, предусмотренных Правилами техники безопасности и производственной санитарии при производстве работ в путевом хозяйстве.

От лиц, производящих работы и руководящих передвижением транспортных средств по пути, а также от локомотивных бригад, требуется в таких случаях проявление особой бдительности.

Запрещается: приступать к работе до ограждения места ее проведения сигналами установленным порядком; снимать сигналы до полного окончания работы.

Если работы продолжаются более одного рабочего дня, то они должны так организовываться и выполняться, чтобы к концу каждого рабочего дня обеспечивалось выполнение, в первую очередь, того их комплекса, которым гарантируется безопасное движение поездов в период до следующего начала работ со скоростями, предусмотренными технологическим процессом.

Полным окончанием работ считается выполнение их в таком объеме, который обеспечивает безопасное движение поездов по месту работ с установленными на участке скоростями.

Подготовленный к пропуску поездов путь должен отвечать требованиям, предъявляемым к нему в зависимости от установленной скорости движения. Они изложены в Инструкции по текущему содержанию пути и в Инструкции по обеспечению безопасности движения поездов при производстве путевых работ.

На станционных путях запрещается производить работы, требующие ограждения сигналами остановки или уменьшения скорости, без согласия дежурного по станции и без предварительной записи руководителем работ в Журнале осмотра путей, стрелочных переводов, устройств СЦБ, связи и контактной сети. На участках, оборудованных диспетчерской централизацией, такие работы должны выполняться после получения согласия поездного диспетчера. В этом же журнале делается запись и об окончании работ, производимых на станционных путях и стрелочных переводах; при этом предварительное уведомление об этом может быть передано руководителем работ дежурному по станции телефонограммой с ближайшего от работы поста с последующим оформлением записи в журнале.

Порядок и время производства предвиденных работ, требующих закрытия станционных путей или стрелочных переводов, руководитель работ накануне должен согласовать с начальником станции, а работ, при которых может быть нарушено действие устройств СЦБ, также и с работниками дистанции сигнализации и связи. В таких случаях при производстве работ должен присутствовать электромеханик, который осуществляет и оформляет установленным порядком выключение и включение этих устройств.

Особые требования предъявляются к выполнению работ на бесстыковом пути, связанных с ослаблением его устойчивости, поэтому их разрешается производить при условии, если отклонение в сторону повышения измеренной температуры рельсовых плетей от температуры, при которой они были закреплены, в течение всего времени производства работ не превысит допускаемых значений, приведенных в Технических указаниях по устройству, укладке и содержанию бесстыкового пути. При этом должно учитываться, что в летние солнечные дни температура рельсов и температура воздуха нарастают неодинаково (рис. 1.1).

Рис. 1.1. График температуры воздуха (1) и рельсов (2) в солнечный летний день (Центральный регион)

Если же по условиям соблюдения температурных требований не представляется возможным произвести названные работы, их выполнение рекомендуется перенести на утренние часы, когда температура рельсов не превышает допускаемую. При этом ко времени максимального повышения дневной температуры рельсов должны быть полностью закончены отделочные работы, обеспечивающие необходимую сопротивляемость бесстыкового пути поперечному сдвигу при максимальной температуре рельсов. При этом особое внимание должно уделяться месту окончания работы, производимой с подъемкой рельсошпальной решетки или вырезкой балласта из-под шпал.

Если и в таких случаях не представляется возможным произвести названные работы, не нарушая расчетного температурного режима бесстыкового пути, то их выполнение следует перенести на более позднее время сезона, когда температура рельсов в дневное время не будет превышать допускаемую, либо перед началом работ произвести разрядку температурных напряжений в рельсовых плетях.

1.2. Технологические процессы путевых работ

Основные работы по текущему содержанию пути выполняются по типовым технологическим процессам, которые устанавливают перечень и последовательность выполнения входящих в них отдельных технологических операций, расстановку монтеров пути, машин и механизмов по месту и времени исходя из условия достижения максимального темпа производительности труда и наилучшего качества работ, наиболее эффективного использования «окон», полного обеспечения безопасности движенияпоездов и личной техники безопасности работников. Технологические процессы постоянно совершенствуются на базе применения современных машин и механизмов, передовых методов и приемов труда.

Типовые технологические процессы корректируются дистанцией пути с учетом местных условий, но при неизменной последовательности выполнения основных работ (технологических операций), входящих в типовой технологический процесс, при этом могут увеличиваться или уменьшаться перечень и объемы работ, общая численность путевой бригады и расстановка монтеров пути по операциям, продолжительность «окна», фронт работ и др.

К особенностям технологических процессов производства работ по текущему содержанию пути относятся: выполнение работ в «окна» (продолжительностью 2-5 ч) или короткие интервалы (10-20 мин) между поездами; значительный (несколько сотен метров или даже километр) фронт работ, простирающийся узкой (5-8 м) полосой, что затрудняет условия раскладки необходимых материалов и размещения механизмов и приборов из-за необходимости соблюдения габарита; осложненные условия обеспечения техники личной безопасности работников по причине непрекращающегося движения поездов по месту работ или по соседнему пути на двухпутных участках, а также растянутости фронта работ; сезонность производства работ, вследствие чего ограничен период времени, в который выполняются шпалобалластные и земляные работы; производство работ в течение всего года на открытом воздухе, что ухудшает условия выполнения работ и соблюдение требований техники безопасности монтерами пути, снижает производительность труда при неблагоприятной погоде (сильные морозы зимой и высокая температура летом, неудовлетворительная видимость при туманах, метелях и др.).

С целью сокращения времени выполнения отдельной работы или комплекса работ, связанных с нарушением целостности или ослаблением пути, не позволяющими пропускать поезда с установленной скоростью движения, в технологических процессах все работы и отдельные операции делятся на подготовительные, основные и заключительные (отделочные).

К подготовительным относятся работы, не нарушающие целостности пути и не вызывающие необходимости уменьшения установленной скорости движения поездов в период производства данной работы (например, зачистка заусенцев на деревянных шпалах при перешивке рельсовой колеи, выдергивание третьего основного и обшивочных костылей при выправке пути укладкой карточек в зимнее время, снятие в стыке пятого и шестого болтов при одиночной замене рельса, визирование пути при его выправке и др.).

К основным относятся работы, нарушающие целостность пути или его положение в профиле и плане, при которых либо нельзя пропускать поезда (например, снятый или расшитый рельс, поднятый домкратом или сдвинутый в сторону путь), либо требуется ограничение скорости движения поездов (например, крутой отвод пути при выправке или рихтовке, не полностью засыпанные балластом шпальные ящики, частично установленные и закрепленные клеммные болты и др.).

В заключительный период выполняются работы по отделке пути и приведению его в состояние, гарантирующее обеспечение безопасности движения поездов с установленными скоростями в течение длительного периода.

Основными параметрами технологических процессов являются: перечень работ, их объемы, количество технологических операций; продолжительность «окна» или интервала времени между поездами; тип и количество применяемых машин и механизмов; фронт работ; способ выполнения работ (звеньевой — когда каждая бригада или группа монтеров пути с необходимым набором технических средств выполняет весь комплекс работ на отдельном участке общего фронта; поточный — когда на всем фронте работы выполняются непрерывно одной и той же бригадой и комплексом технических средств; смешанный — одна часть работ выполняется поточно, а другая — позвенно); последовательность и темп выполнения работ; численность путевых бригад, выполняющих сопутствующие немеханизированные работы; порядок пропуска и скорость движения поездов по месту работ.

Отдельные работы и технологические операции, входящие в общий комплекс работ, необходимо выполнять в последовательности, исключающей повторяемость работ и обеспечивающей наилучшее их качество, наивысший темп и наименьшую численность бригады. Например, работы по удалению загрязнителей из-под рельса и с поверхности призмы, замене шпал, прогрохотке щебеночного балласта в местах выплесков, перегонке шпал выполняются до выправки пути с подбивкой шпал, а работы по рихтовке пути, закреплению противоугонов, оправке и плакировке балластной призмы и обочин — после выправки.

В технологических процессах должна предусматриваться уборка с пути в конце рабочего дня и транспортировка к месту хранения или складирования материалов верхнего строения, снятых во время производства работ.

В основе составления технологических процессов лежат нормы времени и нормы выработки монтеров пути и машин, с помощью которых определяется наиболее рациональный темп работ и их последовательность, исключающая непроизводительные потери рабочего времени.

2. Самостоятельные путевые работы

2.1. Выправка пути

Основные положения. Необходимость выправки пути (стрелочных переводов) в процессе текущего содержания определяется по путеизмерительным лентам, а также по результатам осмотра и проверки пути бригадиром, дорожным мастером и другими должностными лицами, несущими персональную ответственность за техническое состояние пути и его текущее содержание.

Критериями назначения выправки пути служат: отклонения от норм (номинальных значений) рельсовых нитей по уровню, местным просадкам, отводам возвышения наружных нитей в местах сопряжения прямых с кривыми, а также неплотное прилегание рельса к подкладкам или шпал к балластной постели и др. (рис. 2.1 и 2.2).

Рис. 2.1. Признаки необходимости проведения выборочной (неотложной или первоочередной) выправки пути:
а — фрагмент записи перекосов III степени т путеизмерительной лат: б — продольный разрез пути (по торцам шпал) в зоне стыка; 1 — просадки и перекосы I и III степени; 2 — пустоты под шпалами.

Рис. 2.2. Признаки необходимости проведения сплошной планово-предупредительной выправки пути:
а — фрагмент записи просадок II степени на путеизмерительной ленте; б, в- продольный (по торцам шпал) и поперечный (по оси шпал) разрезы участка пути; 1 — пустоты под шпалами

В зависимости от характера отступлений, типа рельсового скрепления и времени года выправка пути может производиться подбивкой шпал, а при скреплениях типа КБ — укладкой регулировочных прокладок между рельсом и подкладкой. При костыльном скреплении в зимнее время путь выправляется укладкой карточек между подкладкой и шпалой. На участках с асбестовым и песчаным балластом при выправке отдельных просадок, при условии соблюдения необходимых требований, выправка может производиться способом подсыпки балласта под шпалы.

При выправке локальных отступлений подбивкой шпал сначала вывешивается и выравнивается в продольном направлении (на глаз или с помощью оптических приборов) рельсовая нить с меньшей величиной просадки; по ней устанавливается в требуемое положение по уровню другая рельсовая нить, после чего производится подбивка шпал, при этом длина подбиваемого отрезка пути определяется по той нити, по которой вывешено (отделено от балластной постели) большее количество шпал,

Подбивка шпал и переводных брусьев может производиться торцовыми подбойками, электрическими шпалоподбойками, выправочно-подбивочно-рихтовочными машинами.

Ручная подбивка, как правило, применяется при неотложной и первоочередной выправках пути, производимых выборочно в интервалы времени между поездами и требующих частого свертывания и развертывания работ, для пропуска поездов и перехода бригады от одного места выправки к другому.

Выправка пути, носящая предупредительный характер, в большинстве случаев выполняется со сплошной подбивкой шпал на участке, поэтому она производится с применением выправочно-подбивочных машин, а при их отсутствии — электрошпалоподбоек.

Отводы пути при пропуске поездов по месту работ должны быть не круче указанных в табл. 2.1.

Таблица 2.1. Допускаемые уклоны отводов пути,
устраиваемых при пропуске поездов во время выправки дуги

Максималь-ная скорость движения поездов, км/ч

Уклон отвода, мм/м

Максималь-ная скорость движения поездов, км/ч

Уклон отвода, мм/м

по обеим нитям в прямой и круговой кривой

возвышения в переходной кривой

по обеим нитям в прямой и круговой кривой

возвышения в переходной кривой

Измерительные работы. Необходимость измерительных работ при выправке пути возникает на участках с длинными просадками пути (стрелочных переводов). При измерениях определяют высоту подъемки пути в сечениях над шпалами (переводными брусьями) при их подбивке или толщину регулировочных прокладок, укладываемых на подкладки под подошву рельса при раздельном скреплении типа КБ.

Высота подъемки пути определяется: измерением ординат от визирного луча оптического прибора (рис. 2.3) до головки рельса — по менее просевшей рельсовой нити; суммированием ординат с величинами отклонений по уровню — по другой нити.

Рис. 2.3. Оптический прибор ПРП:
а — рабочая рейка; б — измерительная рейка; в — зрительная труба; 1 — зажимной винт, 2 — башмак; 3 — уровень; 4, 5 — соответственно горизонтальная и вертикальная шкалы; б- окуляр;
I-I — горизонтальная нулевая линия; II-II — вертикальная нулевая линия.

Перед визированием бригадир пути отходит на 30-35 м от начала просадки (подбивки шпал), становится внутрь колеи около рельса менее просевшей нити и, наклоняясь к нерабочему канту головки рельса, на глаз определяет по нему места установки: оптического прибора со зрительной трубой — пять-шесть шпал до начала просадки; рабочей рейки — столько же шпал за концом просадки.

После установки на рельс рабочей рейки на расстоянии пяти-шести шпал от зрительной трубы в сторону рабочей рейки устанавливается измерительная рейка, с помощью которой с последующей ее перестановкой ведется выправка пути по визирному лучу (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Схема установки прибора ПРП при устранении просадки:
1 — зрительная труба; 2 — измерительная рейка;3 — визирный луч;4 — рабочая рейка;
А -Б — границы просадки; В₁-В₄ — места установки измерительной рейки

При выправке коротких просадок подбивкой шпал высота подъемки пути определяется бригадиром пути на глаз.

Выправка пути с подбивкой шпал торцовыми подбойками. Работы выполняются в интервалы времени между поездами путевой бригадой численностью четыре-шесть монтеров пути (рис. 2.5).

Рис. 2.5. График выполнения технологических операций при выправке пути
на щебеночном балласте подбивкой шпал торцовыми подбойками
(объем работ — 10 шпал): цифры над линиями графика обозначают номера монтеров пути

Сначала отрывают балласт в шпальных ящиках по схеме, показанной на рис. 2.6, а; глубина отрывки балласта в ящиках — 4-5 см ниже подошвы шпал (рис. 2.6, б).

Рис. 2.6. Схемы отрывки шпальных ящиков при подбивке шпал торцовыми подбойками:
а — вид сверху; б — укрупненный вид с торца шпалы; 1-рельсы; 2-шпалы; 3-отрытый участок ящика; 4 — торцовые подбойки

При костыльном скреплении в месте выправки из-под подкладок удаляют карточки, уложенные в зимнее время, а при раздельном скреплении типа КБ — из-под рельса удаляют регулировочные прокладки. В местах двусторонней просадки пути, если она короткая (до 6 м), устанавливают (строго вертикально) домкраты. Бригадир пути отходит от места просадки на 25-30 м, становится около рельса и, нагнувшись, по канту головки рельса находит место просадки и подает команду на подъемку пути домкратами до выравнивания рельсовой нити. Затем он возвращается к домкратам, устанавливает по уровню в требуемое положение другую рельсовую нить, после чего четыре монтера пути подбивают поднятые шпалы, располагаясь относительно них попарно лицом к подбиваемой шпале (рис. 2.7) и перемещаясь от рельса до конца шпалы и на 50 см в сторону ее середины.

Рис. 2.7. Схема расположения монтеров пути (обозначены цифрами) при подбивке шпалы торцовыми подбойками

При просадке длиной более 6 м домкраты располагают на расстоянии пяти-шести шпал от начала просадки и по мере подбивки шпал последовательно, через такое же расстояние переставляют их по длине просадки.

При односторонней просадке домкратом вывешивается только одна рельсовая нить, а подбивка шпал производится: по всей длине шпалы, если величина подъемки нити превышает 6 мм; с одной (поднятой) стороны — если подъемка не превышает 6 мм и под шпалами нет люфтов.

После подбивки шпальные ящики засыпают прогрохоченным (вручную с помощью вил) щебнем, поправляют противоугоны (прижимают их к шпалам), оправляют балластную призму, обметают рельсы, шпалы и скрепления; если это стык, то подкрепляют в нем .болты; при необходимости рихтуют путь.

Выправка пути с подбивкой шпал электрошпалоподбойками (ЭШП). Работы выполняются четырьмя (или восемью) электрошпалоподбойками бригадой монтеров пути в составе 6 (17) чел. (рис. 2.8, 2.9).

Рис. 2.8. График работ по выправке пути с деревянными шпалами четырьмя ЭШП бригадой из шести монтеров пути (м. п.):
1 — добавка костылей (2м. п. № 1 и 2);
2 — отрывка шпальных ящиков (4 м. п. № 3-6);
3 — установка домкратов, подброска балласта в ящики и перемещение распределительной коробки (2 м. п. № 1 и 2);
4 — подбивка шпал (4 м. п. № 3-6);
5 — рихтовка пути гидравлическими домкратами (6 м. п. № 1-6); 6 — оправка балластной призмы (6 м. п. № 1-6)

Рис. 2.9. График выполнения технологических операций при выправке пути на щебеночном балласте
подбивкой шпал восемью электрошпалоподбойками; цифры над линиями обозначают номера монтеров пути

Перечень и последовательность технологических операций в основном те же, что и при ручной подбивке шпал. Высота подъемки определяется с помощью визирок. Сначала первая рельсовая нить поднимается домкратом до совпадения нулевой линии измерительной рейки с визирным лучом, что определяется бригадиром пути, а затем в требуемое положение по уровню устанавливается вторая нить и производится подбивка шпал в направлении к измерительной рейке.

После подбивки всех шпал на первом выравненном участке пути домкраты переставляются в сторону рабочей рейки на шесть-восемь шпал и процесс выправки повторяется. При подбивке шпал электрошпалоподбойками на щебеночном балласте применяются зубчатые бойки, а на песчаном и асбестовом балласте — клиновые (рис. 2.10), при этом зубья бойков при подбивке должны быть направлены в сторону рельса (рис. 2.11). При незагрязненном, а также разрыхленном балласте, отрывка шпальных ящиков не производится.

Рис. 2.10. Зубчатые (а) и клиновой (б) бойки ЭШП

Рис. 2.11. Схема расположения бойков ЭШП относительно рельса при подбивке шпалы

Шпала считается подбитой, если частицы балласта под ее постелью упакованы настолько плотно, что подбойки не проникают в балласт, при этом увеличивается интенсивность вибрации электрошпалоподбоек, ощущаемая руками шпалоподбойщиков.

Включение электрошпалоподбоек в распределительную коробку должно быть таким, чтобы от вращения дебалансов они стремились перемещаться по направлению к рельсу. Распределительные коробки целесообразно располагать на легких тележках, перемещаемых по рельсам.

При выправке пути с подбивкой шпал ручными или электрическими шпалоподбойками должны соблюдаться следующие правила.

1. С целью облегчения работ по отрывке шпальных ящиков от балласта ее следует производить от концов и середины шпалы по направлению к рельсу.

2. В местах выплесков балласт в шпальных ящиках перед подбивкой шпал должен быть вырезан и прогрохочен на глубину не менее 10 см ниже их подошвы.

Во всех случаях для подбивки шпал и засыпки шпальных ящиков балластом после подбивки должен использоваться прогрохоченный щебень.

3. При выправке стыков поднимать рельсовые нити в сечении под стыковыми шпалами следует с запасом на осадку 2 мм.

4. Поднятый путь должен держаться на домкратах до приближения к ним подбоек.

5. При подбивке деревянных шпал средняя их часть подбивается слабее, а при железобетонных шпалах- не подбивается совсем.

6. При выправке пути с подъемкой рельсошпальной решетки должны подбиваться все поднятые (оторванные от балласта) шпалы.

7. Корпуса электрошпалоподбоек должны иметь двойную изоляцию или защитно-отключающие устройства, предотвращающие поражение монтеров пути электрическим током, в противном случае электрошпалоподбойки должны при работе заземляться в соответствии с правилами пользования ими.

При необходимости укладки электрического кабеля через путь его пропускают между шпалами под рельсы. Во время перехода бригады на новое место подбивки, а также перед пропуском поезда электрошпалоподбойки отключают от электростанции.

8. Место работ по выправке пути с применением электрических или ручных шпалоподбоек, выполняемой с подъемкой до 2 см, ограждается с обеих сторон сигнальными знаками «Свисток», и машинистам поездов и водителям других транспортных средств выдаются предупреждения об особой бдительности и подаче оповестительных сигналов при приближении к месту работ; скорость движения поездов не ограничивается. При выправке пути с подъемкой от 2 до 6 см место работ ограждается сигналами уменьшения скорости, а на поезда выдаются предупреждения о следовании по месту работ со скоростью не более 40 км/ч.

Перечень оборудования, необходимого для выправки пути с подбивкой шпал, зависит от принятого способа выправки (табл. 2.2).

Таблица 2.2. Перечень оборудования и инструментов для выправки пути с подбивкой шпал

Инструменты и оборудование

Число инструментов при подбивке

Когти для щебня

Выправка пути укладкой регулировочных прокладок при раздельном скреплении типа КБ. Такая выправка может применяться на участках, на которых отсутствуют люфты в зоне между шпалой и балластом. При их наличии выправляют путь подбивкой шпал.

С помощью прокладок выправляют просадки величиной до 10 мм. При больших величинах просадок путь должен выправляться подбивкой шпал, иначе существенно ухудшатся условия работы скреплений и может начаться угон рельсовых плетей.

Порядок выполнения выправочных работ следующий. Визирование пути производят описанным выше способом. По визирному лучу с помощью измерительной рейки определяют толщину прокладок для каждой шпалы по визируемой нити; по другой нити толщина прокладок определяется с учетом отклонений по уровню. Толщина укладываемых прокладок записывается мелом на рельсе или шпалах, после чего подбирают прокладки соответствующей толщины и раскладывают по концам шпал.

Затем, начиная с двух шпал до начала укладки прокладок, но не более чем на восьми концах шпал подряд, на пять-семь оборотов отвертывают гайки клеммных болтов, домкратом вывешивают рельс, на подкладки под его подошву укладывают лежащие на концах шпал прокладки, опускают рельс, снимают домкрат и затягивают гайки клеммных болтов.

Регулировочные прокладки для укладки под рельс изготавливаются из кордонита, полиэтилена или фанеры толщиной 1,5; 3; 5; 7; 9 мм (рис. 2.12).

Рис. 2.12. Регулировочные прокладки для железобетонных шпал при раздельном скреплении:
а — для рельсов Рб5; б — для рельсов Р50

Дополнительно к прокладкам-амортизаторам на каждый конец шпалы укладывают не более двух регулировочных прокладок, при этом общая толщина прокладок (с учетом амортизационных) должна быть для скреплений КБ не более 14 мм.

Работы выполняются двумя монтерами пути под руководством; бригадира пути (рис. 2.13).

Рис. 2.13. График выполнения технологических операций при выправке пути укладкой регулировочных прокладок двумя монтерами пути (объем работ — четыре конца шпал, каждую операцию монтеры выполняют вдвоем)

Место работ по выправке пути на прокладки ограждается сигнальными знаками «Свисток».

Выправка пути подсыпкой балласта под шпалы (суфляж). Выправка пути подсыпкой балласта под шпалы применяется на участках звеньевого пути с чистым асбестовым или песчаным балластом при просадках величиной до 15 мм или при снятии пучинных карточек такой же толщины.

При подсыпке, так же, как и при выправке на прокладки, сначала определяют величины просадок рельсовых нитей над шпалами, после чего специальными лопатами (рис. 2.14) со стороны открытых от балласта торцов шпал подсыпают под них порции балласта, отмеренные специальными (мерными) кружками (рис. 2.15).

Рис. 2.14. Лопата для выправки пути подсыпкой балласта под шпалы:
1- полотно лопаты, 2 — подсыпаемый слой балласта; 3 — ручка

Рис. 2.15. Мерная кружка

Прежде чем подсыпать балласт под шпалу, он равномерно распределяется по поверхности лопаты, затем она на всю свою длину медленно подводится под шпалу и резким рывком выдергивается из-под нее. При подсыпке конвейерной лопатой после ее подведения под шпалу с помощью специального шнура и гибкой ленты она постепенно выводится из-под шпалы, оставляя на ее постели равномерно распределенный слой балласта. После подсыпки балласта под шпалы засыпают торцы шпал балластом.

При выполнении работ по подсыпке особое внимание должно быть обращено на равномерность распределения балласта под шпалой, предварительную ликвидацию слепых зазоров на фронте работ, восстановление плеча балластной призмы.

Выправка пути с подбивкой шпал шпалоподбивочными машинами. Для выправки пути в профиле, плане и по уровню на железных дорогах России применяются самоходные выправочно-подбивочно-рихтовочные машины цикличного действия типа ВПР отечественного и зарубежного производства, одновременно подбивающие две шпалы (рис. 2.16).

Рис. 2.16. Выправочно-подбивочно-рихтовочная машина ВПР-1200 (ВПР-02):
I — платформа; 2 — автосцепка; 3.6 — кабины управления; 4, 15. 17- тросы; 5 — дизель; 7,13, 16. I8 — измерительные тележки; 8,12 — ходовые тележки; 9 — подъемно-рихтовочное устройство; 10 — подбивочный блок; 11 — виброуплотнитсль; 14 — масштабный каток

Наилучшее качество выправки и наибольшая производительность машин достигается при подъемке пути на высоту 15- 25 мм. При этих условиях обеспечивается быстрое внедрение подбоек в балласт и создание равномерно уплотненной постели под шпалой при его обжатии.

В связи с необходимостью обязательной подъемки при подбивке машины не могут применяться для исправления коротких просадок, перекосов, отклонений по уровню, так как при этом на отрезках выправленного пути будут образовываться локальные искажения продольного профиля в виде бугров. Поэтому рекомендуется выправлять путь с применением шпалоподбивочных машин участками протяженностью не менее 100 м. В начале и конце таких участков устраивается отвод, длина которого зависит от выбранной величины подъемки пути (табл. 2.3).

Таблица 2.3. Рекомендуемая высота подъемки пути при его выправке машиной ВПР

Минимальная высота подъемки пути, мм, при балласте

чрезмерно уплотненном и частично загрязненном

средне уплотненном и частично загрязненном

слабо уплотненном и незагрязненном

Примечание. Во второй и третьей графах высота подъемки устанавливается из условия возможности внедрения подбоек в балласт; в четвертой графе — из условия возможности выравнивания пути в профиле.

Уклон отвода не должен превышать значений, приведенных в табл. 2.1.

При рыхлом щебеночном балласте заглубление подбоек не вызывает затруднений и выправка может осуществляться с минимальными подъемками пути или вообще без подъемки.

Для точной установки геометрических параметров рельсовой колеи, принятых во время выправки, и их длительного сохранения после подбивки шпал, необходимо соблюдать ряд обязательных условий.

Перед началом выправки должна быть установлена оптимальная величина заглубления подбоек. Для этого дорожный мастер сообщает оператору машины расстояние от верха головки рельса до низа шпалы верхнего строения пути, уложенного на участке выправки, который вводит эти данные в систему управления. Во время выправки обеспечивается автоматическая установка верхней кромки лопатки подбойки ниже основания шпал на 10-15 мм, что предотвращает их повреждение при обжатии балласта. Допустимый износ граней подбоек принят 15-16 мм (размеры лопатки 80х150 мм). Использование подбоек с большим износом снижают эффективность выправки.

Создание плотной постели под шпалой наряду с правильной регулировкой глубины опускания подбоек обеспечивается соблюдением временного цикла подбивки, который должен составлять на малоуплотненном балласте не менее 6 с, а на уплотненном не менее 8 с. Применение динамического стабилизатора пути позволяет без ухудшения качества сократить этот цикл на 15-20 % за счет уменьшения времени обжатия балласта под шпалой до 0,6-0,8 с (оптимальное время обжатия составляет 1,2-2,0 с).

Стабильность в зоне стыка после обкатки поездами обеспечивается за счет его подъемки на 1-1,5 мм выше чем на подходах с двойным обжимом стыковых и предстыковых шпал. От стыка в обе стороны делается плавный отвод с уклоном 0,001.

После выправки необходимо восстановить очертания балластной призмы с пополнением шпальных ящиков. При подъемке пути до 30 мм предварительно выгружать балласт не требуется, так как шпальные ящики после выправки будут заполнены балластом не менее чем на две трети. Если предусматриваются подъемки больше 30 мм, перед подбивкой производится выгрузка балласта на концы шпал с последующим его перемещением в середину колеи вручную иди с помощью планировщика, а после выправки дополнительная выгрузка балласта с восстановлением очертаний призмы и пополнением шпальных ящиков. Такая технология является обязательной при выправке бесстыкового пути для обеспечения его устойчивости. Для повышения стабильности пути во время выправки в обязательном порядке должен применяться уплотнитель балласта за торцами шпал, установленный на машине. Динамический стабилизатор пропускается только после восстановления очертаний балластной призмы и заполнения шпальных ящиков.

Выправка пути шпалоподбивочными машинами эффективна в тех случаях, когда загрязнение щебеночного балласта не превышает 15 %. В противном случае, особенно при увлажнении, путь быстро расстраивается, и вновь возникает необходимость его выправки. Щебень с большей загрязненностью перед подбивкой должен быть очищен.

При небольшой протяженности таких участков перед выправкой производят очистку щебня в шпальных ящиках, добавляют свежий балласт и только после этого производят подбивку с подъемкой пути не менее 30-40 мм.

Для установки пути в профиле и плане выправочно-подбивочно-рихтовочные машины оснащены контрольно-измерительной тросовой системой, отслеживающей положение рельсовых нитей в обеих плоскостях хордовым методом. Они могут выправлять путь двумя способами: сглаживанием неровностей; постановкой пути в заранее заданное положение.

Способ сглаживания может применяться на пути с локальными отклонениями в плане и профиле длиной не более 15-20 м. Использование этого способа при более протяженных отклонениях приводит к сглаживанию их очертаний в начале, конце и внутри неровности, не ликвидируя ее саму. Это прежде всего относится к длинным односторонним смещениям пути в плане и участкам с искажением элементов продольного профиля. Хорошие результаты способ сглаживания дает на пути, который ранее был выправлен с постановкой в заранее заданное положение.

Для определения способа выправки путь осматривают, при необходимости в отдельных местах делают предварительные измерения искажений профиля с использованием визирок или оптических приборов, отклонения в плане на прямых оценивают с помощью бинокля, а в кривых промером стрел прогиба от 20-метровой хорды. Для оценки могут быть использованы результаты прохода путеизмерительного вагона ЦНИИ-4. При осмотре должны быть выявлены места максимальной сдвижки и подъемки пути, их величина, а также участки, положение которых не подлежит изменениям или эти изменения могут носить ограниченный характер: переезды, мосты, пассажирские платформы, негабаритные места, междупутья и т.п. Для оценки указанных параметров следует также использовать имеющиеся в дистанции пути документы, включая продольный профиль, съемку кривых, габаритных размеров и т. д.

Участки, имеющие большое количество перечисленных барьерных мест, а также сильно расстроенные кривые следует выправлять способом постановки пути в заранее заданное положение.

Проведение выправки способом сглаживания требует минимальных разбивочных работ. На рельсах должны быть отмечены начала и концы переходных кривых и точки перелома профиля. Оператору машины перед началом работ необходимо представить данные по длине переходных кривых, возвышению наружного рельса круговой кривой и ее радиусу. Начало выправки следует выбирать на участке пути, не имеющем заметных отклонений в профиле и плане на протяжении 20 м. Прибыв на место работ, машина останавливается на этом участке так, чтобы точки ее измерения располагались в следующем порядке (рис. 2.17): А — в сечении пути, не требующем подъемки, Б (подбивочный блок) — в точке начала подъемки пути, В — на невыправленном пути.

Рис. 2.17. Принципиальная схема выхода машины ВПР на заданную отметку подъемки пути (Аз):
1,2 — последовательные положения измерительной хорды машины при постепенном увеличении отметки передней точки хорды; 3 — продольные отметки поднимаемого пути; 4 — продольные отметки пути до подъемки; kh_1, k(h₂— h₁) — ординаты, последовательно задаваемые для передней точки измерительной хорды; h_1, h₂— ординаты высоты подъемки в точке расположения подъемного устройства и подбивочных блоков

Оператор машины задает передней точке измерительной хоры (В) последовательно нарастающие отметки, исходя из принятого уклона отвода, постепенно выводит путь на заданную высоту общей подъемки при выправке (h₃).После этого система работает в режиме сглаживания неровностей в обеих плоскостях (рис. 2.18, а). Передняя точка хорды В движется на уровне заданной величины общей подъемки пути, повторяя первоначальные искажения профиля, а точка Б автоматически подъемным устройством устанавливается на прямой А-В. При перемещении машины от выправленного сечения пути к невыправленному в точке Б происходит рассогласование контрольно-измерительной системы (точка Б оказывается не на прямой линии А-В) и путь в этом сечении поднимается до тех пор, пока согласование не восстановится, сглаживая неровность.

Рис. 2.18. Принципиальные схемы выправки пути с подъемкой:
а — по способу сглаживания; б — по способу постановки на заданные отметки; I — участок поднятого и выправленного пути; II- участок неподнятого и невыправленного пути; 1, 2 — последовательные положения измерительной хорды машины; 3 — траектория движения передней точки измерительной хорды; h₃ — постоянная ордината подъемки пути, которая задается передней точке измерительной хорды при выправке сглаживанием; h₁₃. h₃₃ — последовательные значения ординат подъемки пути, которые задаются передней точке измерительной хорды при выправке с подъемкой на заданные отметки

При необходимости выправки отдельной кривой с использованием способа сглаживания работу следует начинать и заканчивать не ближе 50 м от начала переходных кривых.

Одной из разновидностей реализации способа постановки пути в заранее заданное положение является его выправка по фиксированным точкам. Она, в первую очередь, применяется на машинах, не имеющих бортового компьютера. Такой выправке предшествует геодезическая съемка положения пути в плане и профиле с последующим определением его проектного положения. По этим данным непосредственно на пути с помощью оптического прибора производится разбивка с записью на каждой пятой шпале величин сдвижек и подъемок пути, а в кривых, кроме того, возвышения наружного рельса.

Выправка производится установкой передних точек хорд в соответствии с размеченными на шпалах величинами сдвижек и подъемок пути (рис. 2.18, б), начиная с устройства отвода.

Машины, у которых контрольно-измерительная система дополнена бортовым компьютером, могут производить выправку способом постановки пути в заранее заданное положение, используя методы электронного сглаживания или проектных отметок. В отличие от обычного способа сглаживания электронное выполняется по результатам измерительного прохода машины с помощью компьютерной программы. Измерительный проход для электронной записи фактического положения пути в плане, профиле и по уровню осуществляется со скоростью до 10 км/ч, стартовая точка отмечается на рельсах. Используя полученные данные, оператор производит на дисплее корректировку положения пути в профиле и плане, задавая общую подъемку пути, а при необходимости ограничения по подъемкам и сдвижкам в барьерных местах, радиусы круговых кривых. По завершении этих операций машина устанавливается на стартовую точку и производится выправка пути по результатам компьютерной обработки участка. При этом получают значительно лучшие результаты, чем при обычном сглаживании, так как в электронной программе могут быть использованы более длинные сглаживающие хорды и осуществлен дифференцированный подход к каждому участку с поиском оптимального варианта. Вместе с тем электронное сглаживание не позволяет полностью ликвидировать длинные (более 50-100 м в зависимости от величины отклонения) искажения пути в профиле и плане. Наилучшие результаты дает программа ВНИИЖТ, исправляющая отклонения на прямых участках пути до 200 м.

Бортовой компьютер позволяет перед производством работ вводить данные проектного положения пути и производить выправку без предварительной записи величин подъемок и сдвижек на шпалах при постановке его по фиксированным точкам. Этот способ должен использоваться прежде всего при ремонтах пути. При выполнении работ необходимо проводить периодическую проверку работы контрольно-измерительной системы, сравнивая положение выправленного пути относительно реперных точек, выставленных при геодезической съемке участка. Если отклонения превышают 2 мм, необходимо ввести соответствующие коррективы. В качестве таких реперов могут использоваться фундаменты опор контактной сети, опоры пассажирских платформ, пикетные и километровые знаки, специально установленные железобетонные или металлические столбики.

Машины, оборудованные лазерным устройством, могут осуществлять выправку прямых в профиле и плане на заданные отметки участками длиной 250-300 м (рис. 2.19). Машину и лазерную тележку целесообразно устанавливать в точках переломов профиля или в промежуточных точках элементов профиля, имеющих относительно примыкающих участков пути наиболее высокие отметки (бугры). С помощью лазерной тележки может быть снято фактическое положение пути, которое вводится в бортовой компьютер и корректируется оператором. Такое использование лазерной тележки заменяет геодезическую съемку.

Рис. 2.19. Принципиальная схема выправки пути машиной типа ВПР по лазерному лучу:
1 — выправленный путь; 2 — машина; 3 — приемник лазерного луча на машине; 4 — невыправленный путь; 5 — отмелей, на которые поднимается путь; 6 — лазерный луч; 7 — источник лазерного луча на тележке

Контрольно-измерительная система машины должна подвергаться периодической проверке. Для этого используется прямой горизонтальный участок пути длиной 20 м, не имеющий отклонений в любой из плоскостей более 0,5 мм. После установки на нем машины просадка пути, отклонение стрел прогиба и поперечный уровень на пульте должны иметь нулевые значения (рис. 2.20).

Рис. 2.20. Принципиальная схема проверки сглаживающей системы машины типа ВПР:
а — положение показателя на пульте управления; б — положение измерительных тележек и троса машины; 1 — показатель положения рельсовой нити; 2 — измерительный трос машины; 3 — поверхность головки рельса; А, В — крайние точки измерительного троса; Б — точка измерительного троса, в которой расположены рабочие органы машины

В подготовительный и заключительный периоды выполняют те же работы, что и при выправке пути ЭШП. В основной период снимают пучинные карточки при костыльном скреплении или регулировочные прокладки при раздельном, выправляют путь машиной, закрепляют противоугоны, отошедшие от шпал при подбивке (рис. 2.21).

Рис. 2.21. График работы по выправке пути с деревянными шпалами машиной типа ВПР с выполнением сопутствующих работ бригадой из восьми монтеров пути (м. п.):
1 — приведение машины в рабочее положение; 2 — удаление пучинных карточек (4 м. п. № 1-4); 3 — выправка пути машиной ВПР; 4 — распределение балласта (2 м. п. № 5, 6); 5 — добивка противоугонов (2 м. п. № 7, 8); 6 — приведение машины ВПР в транспортное положение; 7 — добивка костылей (2 м. п. № 1,2); 8 — подкрепление стыковых болтов (2 м. п. № 3,4); 9 — планировка откосов балластной призмы (4 м. п. № 5-8)

При снятии большого количества карточек или регулировочных прокладок, работы по их удалению начинают за 2-3 ч до начала «окна», для чего при необходимости ограничивают скорость движения поездов.

При машинной выправке сопутствующие работы выполняются вручную или с применением механизмов бригадой в составе 8-15 чел. Численность бригады должна определяться для каждого участка в зависимости от объема сопутствующих работ.

2.2. Выправка стрелочного перевода

Особенности выправки стрелочных переводов. Выправлять стрелочный перевод труднее, чем выправлять путь, ввиду значительной длины переводных брусьев, и, как следствие, большого погонного веса перевода, поднимаемого домкратами или шпалоподбивочной машиной.

Чтобы осуществлять подбивку брусьев сразу по всей их длине, необходимо либо на каждом брусе перетаскивать шпалоподбойки с прямого на боковое направление перевода, либо выделять двух дополнительных рабочих-подбойщиков, так как в противном случае (при выправке перевода только по прямому направлению) по боковому направлению невозможно пропускать поезда во время работ из-за провисания брусьев. Поэтому сплошную выправку перевода с подъемкой на 20-25 мм начинают за 20-25 м (протяжение отвода) от переднего стыка рамного рельса и выполняют с подбивкой брусьев: одновременно по всей длине — при выправке без закрытия движения поездов; либо сначала по прямому, а затем по боковому направлению — при выправке в «окно».

Выправка с подбивкой переводных брусьев шпалоподбойками. Выправка ведется бригадой монтеров пути численностью 10 чел. Ее производят по визиркам. Оканчивают. выправку после устройства отводов за крестовиной на протяжении по 20-25 м по прямому и боковому направлениям. Сначала удаляют загрязнители с поверхности балластной призмы и из-под рельсов; при костыльном скреплении из-под подкладок удаляют карточки, а при раздельном скреплении — регулировочные прокладки из-под подошвы рельсов; добивают костыли и довертывают шурупы. В начале выправки (на отводе) двумя домкратами поднимают путь по оптическому прибору и подбивают шпалы четырьмя ЭШП. По мере приближения к рамному рельсу количество домкратов увеличивают до четырех, при этом технология дальнейшей выправки перевода выбирается в зависимости от того, прекращается или нет на период выправки движение поездов. Если оно прекращается, то подбивают брусья сначала по прямому, а затем по боковому направлению. Если же в период выправки движение поездов по стрелочному переводу не прекращается, то выправку и подбивку брусьев производят сразу по обоим направлениям с выдачей поездам предупреждений о движении по месту работ (по прямому направлению) со скоростью не более 60 км/ч. При этом количество шпалоподбойщиков увеличивают до 6 чел., из которых 4 чел. подбивают брусья и шпалы ЭШП по прямому направлению, а 2 чел. — поднимают перевод домкратами и подбивают брусья (только в подрельсовой зоне) торцевыми шпалоподбойками по боковому направлению на случай пропуска по нему поезда (со скоростью не более 40 км/ч). После подбивки брусьев и шпал по прямому направлению четыре подбойщика с ЭШП переключаются на подбивку брусьев и шпал по боковому направлению. При необходимости пропуска поезда устраивают отвод требуемой крутизны от поднятого к неподнятому месту стрелочного перевода или пути.

Применяемые механизмы и инструменты приведены ниже:

Математические головоломки и развлечения [Мартин Гарднер] (fb2) читать онлайн

Предмет математики настолько серьезен, что нужно не упускать случая делать его немного занимательным.

Паскаль

Занимательная математика принадлежит к числу наиболее любимых читателями жанров популярной литературы. Решая ее нестандартные своеобразные задачи, люди испытывают радость приобщения к творческому мышлению, интуитивно ощущают красоту и величие математики, сознают всю нелепость широко распространенного, но тем не менее глубоко ошибочного представления о ней, как о чем-то унылом и застывшем («Разве в математике еще не все открыто?»), начинают понимать, почему математики, говоря о своей науке, нередко прибегают к эстетическим категориям («изящный результат», «красивое доказательство»). Вместе с тем занимательная математика — это не только действенное средство агитации молодого поколения в пользу выбора профессии, так или иначе связанной с точными науками, и не только разумное средство заполнения досуга взрослых людей. Занимательная математика — это прежде всего математика, причем в лучших своих образцах математика прекрасная. Недаром видный английский математик Дж. Литлвуд заметил, что хорошая математическая шутка лучше дюжины посредственных работ. Помогая людям, далеким в своей повседневной жизни от математического мышления, постичь дух истинной математики, занимательная математика пробуждает в них наблюдательность, умение логически мыслить, веру в свои силы и драгоценную способность к восприятию прекрасного.

Отсюда видно, сколь высоким требованиям должна удовлетворять хорошая книга по занимательной математике: она должна быть не только доступной, но и занимательной, и не просто занимательной, но и полной содержания. Удовлетворить одновременно всем этим требованиям чрезвычайно сложно, но лучшие образцы занимательной литературы — книги С. Лойда, Э. Люка, Г. Дьюдени, Я. И. Перельмана, М. Крайчика, Г. Штейнгауза, Б. А. Кордемского и некоторых других авторов — свидетельствуют о том, что задача все же разрешима.

Предлагаемая вниманию читателя книга Мартина Гарднера, несомненно, принадлежит к числу наиболее удачных произведений занимательной математической литературы. Имя этого выдающегося популяризатора науки хорошо знакомо российскому читателю по переводам доброго десятка его книг, в том числе и этой книги, которая увидела свет в издательстве «Мир» в 1971 году, открыв серию книг по занимательной математике, приобщивших к замечательной науке математике не одно поколение читателей.

Педагогический такт, тонкий вкус, юмор и неисчерпаемая фантазия позволяют Гарднеру обходить болото унылой дидактичности и уверенно лавировать между Сциллой ложной занимательности и Харибдой математической содержательности избираемых им тем. Разнообразие используемых Гарднером форм поистине удивительно: от кратких творческих портретов классиков занимательной математики до фокусов, основанных на использовании того или иного математического принципа, от хитроумных головоломок до игрушек-самоделок, теория которых тесно связана с важными разделами современной математики, от софизмов и задач «на смекалку» до математических игр.

Обладая счастливым даром видеть занимательное в обыденном, привычном и открывать неожиданное там, где все, казалось бы, давно уже известно, Гарднер (и это не менее важно) умеет передать свою увлеченность и энтузиазм читателям, побудить их к самостоятельному активному творчеству.

За годы, прошедшие с первого издания этой книги, не стало ее титульного редактора Я. А. Смородинского, чей вклад в дело издания литературы по занимательной математике нельзя недооценивать. Его комментарии и примечания к настоящей книге сохранили свою значимость и помещены в тексте в квадратных скобках.

В заключение следует сказать несколько слов о библиографии, приводимой в конце книги. Дополнительная литература предназначена для тех, кто захочет расширить свои знания по вопросам, затрагиваемым в книге. В нее же включены и некоторые сборники более трудных («олимпиадных») задач. Тем же, кто пожелают испробовать свои силы в решении новых головоломок и задач «на смекалку», рекомендуем обратиться к списку литературы по занимательной математике, который дополнен по сравнению с первым изданием.

Введение

Элемент игры, который делает занимательную математику занимательной, может иметь форму головоломки, состязания, фокуса, парадокса, ошибочного рассуждения или обычной математической задачи с «секретом» — каким-либо неожиданным или забавным поворотом мысли. Относятся ли все эти случаи к чистой или прикладной математике, решить трудно. С одной стороны, занимательную математику, безусловно, следует считать чистой математикой без малейшей примеси утилитарности. С другой — она, несомненно, относится к прикладной математике, ибо отвечает извечной человеческой потребности в игре.

Вероятно, такая потребность лежит в основе даже чистой математики. Не так уж велико различие между восторгом неофита, сумевшего найти ключ к сложной головоломке, и радостью математика, преодолевшего еще одно препятствие на пути к решению сложной научной проблемы. И тот и другой заняты поисками истинной красоты — того ясного, четко определенного, загадочного и восхитительного порядка, что лежит в основе всех явлений. Не удивительно поэтому, что чистую математику порой трудно отличить от занимательной. Так, в топологии проблема четырех красок до недавнего времени оставалась нерешенной, хотя ей посвящена не одна страница во многих книгах по занимательной математике.

Никто не станет отрицать, что флексагоны, о которых говорится в первой главе этой книги, — игрушки весьма занимательные, тем не менее анализ их структуры очень скоро упирается и необходимость использования высших разделов теории групп, и статьи о флексатонах можно встретить на страницах многих сугубо специальных математических журналов.

Математики творческого склада обычно не стыдятся своего интереса к занимательным задачам и головоломкам. Топология берет свое начало в работе Эйлера о семи кенигсбергских мостах. Лейбниц потратил немало времени на решение головоломки, которая пережила свое второе рождение под названием «Проверьте уровень своего развития (IQ)». Крупнейший немецкий математик Гильберт доказал одну из основных теорем традиционной области занимательной математики — разрезания фигур. А. Тьюринг, основоположник современной теории вычислительных машин, рассмотрел изобретенную С. Лойдом игру в 15 (в нашей книге ей посвящена глава 9) в своей статье о разрешимых и неразрешимых проблемах.

П. Хейн (чьи игры гекс и тактике описаны в главах 8 и 15) рассказал мне, что, будучи в гостях в Эйнштейна, видел в книжном шкафу хозяина целую полку, забитую математическими забавами и головоломками. Нетрудно понять интерес, который все эти великие умы питали к математической игре, ибо творческое мышление, находящее для себя награду в столь тривиальных задачках, сродни тому типу мышления, который приводит к математическому и вообще научному открытию. В конце концов, что такое математика, как не систематические попытки найти все лучшие и лучшие ответы на те головоломки, которые ставит перед нами природа?

В настоящее время педагогическая ценность занимательной математики общепризнана. Это подчеркивают и журналы, предназначенные для преподавателей математики, и новые учебники, особенно те из них, которые написаны с «современных позиций». Так, даже в столь серьезной книге, как «Введение в конечную математику», [1] изложение нередко оживляется занимательными задачами.

Вряд ли существует лучший способ пробудить интерес читателя к изучаемому материалу. Преподаватель математики, выговаривающий студентам за игру на лекции в крестики и нолики, должен был бы остановиться, чтобы спросить себя, не представляет ли эта игра большего интереса с точки зрения математики, чем его лекция. И действительно, разбор игры в крестики и нолики на семинарских занятиях может послужить неплохим введением в некоторые разделы современной математики.

Известный английский изобретатель головоломок Генри Дьюдени в своей статье «Психологическая сторона увлечений головоломками», опубликованной в декабрьском номере Nineteenth Century Magazine за 1926 год, писал, что литература по занимательной математике страдает чудовищными повторениями, а отсутствие соответствующей библиографии вынуждает энтузиастов понапрасну тратить время на составление задач, которые были уже придуманы задолго до них. Сегодня я счастлив сообщить, что потребность в подобного рода библиографии удовлетворена. Профессор У. Л. Шааф из Бруклинского колледжа составил превосходную библиографию. [2] Что же касается второго упрека Дьюдени, то боюсь, что он все еще справедлив как по отношению к выходящим в наше время книгам по занимательной математике, так и по отношению к книге, предлагаемой вниманию читателей. Но я хочу надеяться, что в моей книге читатели обнаружат большую, чем обычно, порцию свежего материала, который прежде не находил места на страницах занимательной математической литературы.

Мне хотелось бы поблагодарить Дж. Пила, издателя журнала Scientific American, и редактора Д. Фленегена за оказанную мне честь принадлежать к числу постоянных авторов этого журнала и за разрешение воспроизвести плоды моих трудов в этой книге. Я выражаю свою признательность тысячам читателей со всех концов света, которые взяли на себя труд обратить мое внимание на допущенные в них ошибки (к сожалению, слишком многочисленные) и внесли множество ценных предложений. В некоторых случаях эта приветствуемая мной «обратная связь» нашла отражение непосредственно в тексте, но чаще всего из замечаний читателей составлены дополнения, помещенные в конце глав. Ответы к задачам, где это необходимо, помещены там же.

Не могу не выразить благодарности своей жене не только за то, что она со знанием дела и неизменной бодростью духа принимала участие в чтении корректур, но и за проявленное ею терпение, когда, погруженный в размышления о какой-либо математической головоломке, я не слышал того, что она мне говорила.

Мартин Гарднер

Глава 1. ГЕКСАФЛЕКСАГОНЫ

Флексагоны — это многоугольники, сложенные из полосок бумаги прямоугольной или более сложной, изогнутой формы, которые обладают удивительным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а ранее скрытые неожиданно выходят наружу. Если бы не одно случайное обстоятельство — различие в формате английских и американских блокнотов, — флексагоны, возможно, не были бы открыты и по сей день и многие выдающиеся математики лишились бы удовольствия изучать их замысловатую структуру.

Это произошло в конце 1939 года. Как-то раз Артур X. Стоун, двадцатитрехлетний аспирант из Англии, изучавший математику в Принстоне, обрезал листы американского блокнота, чтобы подогнать их под привычный формат. Желая немного развлечься, Стоун принялся складывать из отрезанных полосок бумаги различные фигуры. Одна из сделанных им фигур оказалась особенно интересной. Перегнув полоску бумаги в трех местах и соединив концы, он получил правильный шестиугольник (рис. 1).

Рис. 1 Тригексафлексагон складывают из полоски бумаги, предварительно размеченной на 10 равносторонних треугольников (а). Полоску перегибают по линии db и переворачивают E). Перегнув полоску еще раз по линии cd, расположим ее концы так, чтобы предпоследний треугольник оказался наложенным на первый (в). Последний треугольник нужно подогнуть вниз и приклеить к оборотной стороне первого треугольника (г). Как сгибать трифлексагон, показано на рис. 3. Развертку трифлексагона нужно перечертить и вырезать из полоски достаточно плотной бумаги шириной около 3–4 см.

Взяв этот шестиугольник за два смежных треугольника, Стоун подогнул противоположный угол вниз так, что его вершина совпала с центром фигуры. При этом Стоун обратил внимание на то, что, когда шестиугольник раскрывался словно бутон, видимой становилась совсем другая поверхность. Если бы обе стороны исходного шестиугольника были разного цвета, то после перегибания видимая поверхность изменила бы свою окраску. Так был открыт самый первый флексагон с тремя поверхностями. Поразмыслив над ним ночь, Стоун наутро убедился в правильности своих чисто умозрительных заключений: оказалось, можно построить и более сложный шестиугольник с шестью поверхностями вместо трех. При этом Стоуну удалось найти настолько интересную конфигурацию, что он решил показать свои бумажные модели друзьям по университету. Вскоре «флексагоны» в изобилии стали появляться на столе во время завтраков и обедов, когда вся компания собиралась вместе. Для проникновения в тайны «флексологии» был организован «Флексагонный комитет». Кроме Стоуна, в него вошли аспирант-математик Бриан Таккермен, аспирант-физик Ричард Фейнман и молодой преподаватель математики Джон У. Тьюки.

Постоянные модели были названы гексафлексагонами: «гекса» — из-за шестиугольной формы, «флексатонами» — из-за их способности складываться. [3] Первый построенный Стоуном флексагон был назван тригексафлексагоном, так как у него были три поверхности. Вторая не менее изящная модель Стоуна получила название гексагексафлексагона (первое «гекса» — шесть — также означает число поверхностей этой модели).

Чтобы сложить гексагексафлексагон, берут полоску бумаги (великолепным материалом для изготовления гексагексафлексагонов может служить лента для кассовых аппаратов), разделенную на 19 равносторонних треугольников. В треугольники с одной стороны нужно вписать в указанном на рис. 2 порядке цифры 1, 2, 3.

Девятнадцатый (последний) треугольник остается незаполненным.

Треугольники на обратной стороне следует в соответствии со схемой на рис. 2 пронумеровать цифрами 4, 5, 6. После этого полоску складывают так, чтобы треугольники на ее обратной стороне, имеющие одинаковые цифры, оказались наложенными друг на друга — 4 на 4, 5 на 5, 6 на 6. В результате у нас получится заготовка сагексафлексагона, показанная на рис. 2, б. Перегнув ее по линиям аЬ и cd (рис. 2, б), получим шестиугольник. Остается лишь подвернуть вниз торчащий вправо пустой треугольник и приклеить его к пустому треугольнику на нижней стороне полоски. Проделать все эти операции намного легче, чем описать.

Рис. 2 Гексагексафлексагоны складывают из полоски бумаги, разделенной на 19 равносторонних треугольников (а). Треугольники на одной стороне полоски обозначены цифрами 1, 2, 3; треугольники на другой стороне — цифрами 4, 5, 6. Вместо цифр треугольники можно раскрасить в различные цвета (каждой цифре должен соответствовать только один цвет) или нарисовать на них какую-нибудь геометрическую фигуру. Как складывать полоску, ясно из рисунка. Перегибая гексагексафлексагон, можно увидеть все шесть его разворотов.

Если все сделано верно, то во всех треугольниках на видимой стороне шестиугольника должна стоять цифра 1, а во всех треугольниках на обратной стороне — цифра 2. В таком виде сафлексагон готов к перегибаниям. Взявшись за два смежных треугольника (рис. 3), согнем шестиугольник по общей стороне этих треугольников и подогнем противоположный угол флексагона. При этом откроются треугольники с цифрами 3 или 5. Перегибая флексагон наугад, вы без труда обнаружите и остальные поверхности.

Рис. 3 Чтобы «открыть» тригексафлексагон, его нужно одной рукой взять за два соседних треугольника, примыкающих к какой-нибудь вершине шестиугольника (а), а другой рукой потянуть за свободный край двух противоположных треугольников (б). Если флексатон не открывается, нужно попробовать ухватить его за два других треугольника. При открывании шестиугольник выворачивается наизнанку, и наружу выходит поверхность, которая ранее скрывалась внутри.

Однако поверхности с цифрами 4, 5 и 6 найти несколько труднее, чем поверхности с цифрами 1, 2 и 3. Иногда вы будете блуждать по замкнутому кругу: сколько бы вы ни бились, перед вами будут открываться лишь одни и те же уже успевшие надоесть вам поверхности.

Таккерман довольно быстро нашел простейший способ выявления всех поверхностей любого флексагона: держа флексагон за какой-нибудь угол, следует открывать фигуру до тех пор, пока она «открывается», а затем переходить к следующему углу. Этот метод, известный как «путь Таккермана», позволяет увидеть все шесть разворотов гексагексафлексагонов за один цикл из 12 перегибаний. Поверхности с цифрами 1, 2 и 3 будут появляться в три раза чаще, чем поверхности с цифрами 4, 5 и 6. Путь Таккермана удобно изображать в виде схемы, представленной на рис. 4.

Рис. 4 Схема «пути Таккермана» на гексагексафлексагоне.

Стрелки указывают, в каком порядке становятся видимыми поверхности флексагона. Схемы такого типа пригодны для исследования любой разновидности флексагонов. Если модель перевернуть, то путь Таккермана будет изображаться той же схемой, но направление ее обхода будет противоположным.

Комитет обнаружил, что, удлиняя цепочку треугольников, можно делать флексагоны с 9,12,15 и даже большим числом поверхностей. Таккерман ухитрился даже изготовить действующую модель флексагона с 48 поверхностями! Он также обнаружил, что из зигзагообразной полоски бумаги (то есть из полоски с зубчатым, а не прямым краем) можно сложить тетрагексафлексагон (с четырьмя поверхностями) и пентагексафлексагон (с пятью поверхностями).

Существует три различных гексагексафлексагона: первый складывают из прямой полоски бумаги, второй — из полоски, предварительно сложенной в виде шестиугольника, и третий — из полоски, форма которой напоминает лист клевера. Разновидностей декагексафлексагона (с девятью поверхностями) намного больше — их 82.

Заготовки для всех 82 типов декагексафлексагонов имеют вид бумажных полос, сложенных самым причудливым образом. В принципе можно построить флексагон с любым числом поверхностей, но если поверхностей больше 10, то число разновидностей флексагонов катастрофически возрастает. Кстати, все флексагоны с четным числом поверхностей делаются из двусторонних полос, а флексагоны с нечетным числом поверхностей, подобно листу Мёбиуса, имеют лишь одну сторону.

Полная математическая теория флексагонов была разработана в 1940 году Тьюки и Фейнманом. Помимо всего прочего, теория указывает точный способ построения флексагона с любым числом сторон, причем именно той разновидности, которая требуется. В своем полном виде эта теория так никогда и не была опубликована, хотя отдельные ее части впоследствии были открыты заново другими математиками. Среди энтузиастов «флексологии» следует назвать отца Таккермана, известного физика Луи Таккермана.

Таккерман-старший внес существенный вклад в теорию флексагонов, разработав простой, но эффективный способ изображать «путь Таккермана» в виде дерева.

Нападение японцев на Пирл-Харбор приостановило работу «Флексагонного комитета», а война вскоре разбросала всех четырех его учредителей в разные стороны. Стоун стал читать курс математики в Манчестерском университете, Фейнман, известный физик-теоретик, работал в Калифорнийском технологическом институте, Тьюки занял пост профессора математики в Принстоне, его блестящие работы по топологии и теории вероятностей снискали ему мировую известность. Таккерман — видный математик, он участвовал в разработке проекта быстродействующего компьютера, который был создан в Институте высших исследований.

Комитет все надеялся как-нибудь собраться и написать одну-две статьи с подробным изложением теории флексатонов. Но этого не случилось, а потому ничто не мешает нам, играя с самодельными флексагонами, попытаться вывести собственную теорию.

Прежде чем приступать к изготовлению флексагона, полезно несколько раз перегнуть в обе стороны его развертку по всем линиям сгиба. Это намного облегчает последующие манипуляции с флексатоном. Иногда читатели делали более долговечные модели, вырезав треугольники из картона или металла и соединив их липкой лентой или же наклеив на длинную полоску ткани. Между треугольниками оставались небольшие зазоры, что позволяло легко сгибать флексагоны. Таккерман-старший обычно пользовался стальной пластинкой таких размеров, что, обернув вокруг нее бумажную ленту, можно быстро получать сложенную особым образом полоску, показанную на рис. 2а. Это давало существенный выигрыш во времени при изготовлении флексагонов из линейной цепочки треугольников.

Из писем читателей я узнал множество способов раскраски флексагонов, которые приводят к интересным головоломкам и самым неожиданным зрительным эффектам. Так, каждая поверхность гексагексафлексагона может появляться по крайней мере в двух различных видах в зависимости от того, как повернуты относительно друг друга образующие ее треугольники. Например, если каждую поверхность разделить на части так, как показано на рис. 5, и выкрасить области А, В и С в различные цвета, то в центре видимой поверхности могут появиться и области А (именно этот случай и показан на рис. 5), и области В, и области С.

Рис. 5

На рис. 6 изображен геометрический узор, который, будучи нарисован на каждый раз принимая иной вид.

Рис. 6

Вращая треугольники, из которых составлен правильный шестиугольник, мы получаем 18 различных разновидностей шестиугольников. Если гексагексафлексагон сделан из прямой полоски бумаги, то три из этих 18 шестиугольников никогда не встретятся нам, как бы мы ни складывали наш флексагон. Это навело одного из наших читателей на мысль наклеить на каждый разворот гексафлексагона части трех различных картинок. Перегибая определенным образом флексагон, мы будем видеть по очереди в центре открывшейся поверхности одну из картинок, а на периферии — фрагменты двух других изображений. К трем «скрытым» шестиугольникам, которые никогда полностью не появляются на видимой стороне флексагона, он приклеил разрезанные на части портреты трех очаровательных девушек, которых зритель, несмотря на все свои старания, никак не может рассмотреть во всех подробностях.

Свою игрушку читатель назвал гексагексафрастрагоном. [4] Другой читатель добился аналогичных результатов, склеив два смежных треугольника. Из-за этого исчез целый шестиугольник, и жертвы невинного розыгрыша тщетно пытались найти недостающий разворот флексагона. Неудача казалась тем более непонятной, что, заглянув внутрь флексагона, они собственными глазами видели части таинственно исчезнувшей поверхности!

Утверждение о том, что шестиугольники, возникающие при развороте гексагексафлексагонов, могут быть только 15 различных типов, необходимо несколько уточнить. Несимметричная раскраска поверхностей гексагексафлексагонов позволяет обнаружить любопытный факт: три из 15 допустимых шестиугольников имеют свои зеркально-симметричные пары. Перенумеровав внутренние углы каждого из допустимых шестиугольников по часовой стрелке цифрами от 1 до 6, мы обнаружим, что при складывании флексагонов три шестиугольника переходят в зеркально-симметричные шестиугольники, у которых углы перенумерованы теми же цифрами, но расположенными в обратном порядке. Если принять во внимание эту асимметрию, то можно сказать, что шесть поверхностей гексафлексагона могут порождать 18 различных шестиугольников.

Для тех, кто захочет сам изготовить флексагоны других типов, отличные от рассмотренных, мы приводим краткий обзор флексагонов низших порядков.

1. Унагексафлексагон. Полоску из трех треугольников разглаживают и концы ее соединяют так, чтобы получился лист Мёбиуса с треугольным краем (более изящная модель листа Мёбиуса с треугольным краем рассматривается в главе 7). Поскольку лист Мёбиуса имеет только одну сторону и состоит из шести треугольников, его можно назвать унагексафлексагоном, хотя, разумеется, у него нет шести сторон и он не складывается.

2. Дуогексафлексагон представляет собой просто шестиугольник, вырезанный из бумаги. У него две стороны, но он не складывается.

3. Тригексафлексагон. Существует только одна разновидность этого флексагона, именно она и была уже описана нами.

4. Тетрагексафлексагон также существует лишь в единственном варианте. Его складывают из пилообразной полоски, изображенной на рис. 7а.

5. Пентагексафлексагон. Единственную разновидность этого флексагона складывают из полоски, показанной на рис. 7б.

6. Гексагексафлексагон. Существует три различных типа этих флексагонов, каждый из них обладает неповторимыми свойствами. Мы дали описание лишь одного типа. Два остальных можно сделать из полосок, форма которых показана на рис. 7 в.

7. Гептагексафлексагон. Его складывают из трех полосок бумаги, изображенных на рис. 7 г.

Первую полоску можно сложить двумя различными способами, поэтому общее число возможных форм гептагексафлексагонов равно 4. Третью форму этих флексатонов конструируют из полоски бумаги, имеющей вид восьмерки с перекрывающимися частями. Это первая из фигур, которые Луи Таккерман назвал «флексагонными улицами». Поверхности этой фигуры можно перенумеровать так, что на «пути Таккермана» они будут встречаться «по порядку номеров», как дома на улице.

Рис. 7 Зигзагообразные полоски бумаги для складывания гексафлексагонов. Заштрихованные треугольники служат клапанами для склеивания.

Существует 12 различных типов октагексафлексагонов, 27 типов эннагексафлексагонов и 82 типа декагексафлексагонов. Точное число флексагонов каждого порядка определяется неоднозначно и зависит от того, что следует понимать под «различными» флексагонами. Например, все флексагоны имеют асимметричную структуру и делятся на правые и левые, но зеркально-симметричные формы флексагонов вряд ли следует считать самостоятельными. Более подробно о числе неэквивалентных флексагонов каждого порядка можно прочитать в статье Оукли и Визнера. [5]

Порядки гексафлексагонов, которые можно сложить из прямых полосок, поделенных на равносторонние треугольники, всегда кратны трем. Особенно легко построить одну разновидность гексафлексагонов с двенадцатью поверхностями. Для этого берут прямую полоску бумаги вдвое длиннее той, из которой мы складывали гексагексафлексагон, и «скручивают» ее так, как показано на рис. 2б.

При этом длина полоски сократится вдвое и станет равной длине гексагексафлексагонной полоски. Затем скрученную полоску нужно сложить точно таким образом, как если бы вы складывали гексагексафлексагон. В результате получится додекагексафлексагон.

Экспериментируя с флексагонами высоких порядков, полезно иметь в виду удобное правило: число слоев бумаги в двух соседних треугольных секциях всегда равно числу поверхностей данного флексагона. Интересно также отметить, что если каждую поверхность флексагона пометить каким-нибудь числом или символом и этот символ поставить на всех треугольниках, принадлежащих данной поверхности, то чередование символов на развернутой полоске будет обладать трехкратной периодичностью. Например, на лицевой и обратной сторонах развертки гексагексафлексагона, изображенного на рис. 2, цифры будут располагаться в такой последовательности:

Аналогичное разделение символов на три группы характерно для всех гексагексафлексагонов, но у флексагонов нечетного порядка символы в одной из трех групп расположены в обратном порядке по сравнению с двумя остальными группами.

Из многих сотен писем, полученных мной в связи со статьей о флексагонах, я считаю наиболее забавными два. В свое время они были опубликованы в Scientific American. Вот они.

Уважаемая редакция!

Меня прямо-таки потрясла статья «Флексагоны», опубликованная в декабрьском номере вашего журнала (за 1956 год).

Провозившись каких-нибудь шесть или семь часов, я с помощью сотрудников нашей лаборатории в конце концов сумел правильно склеить гексагексафлексагон. С тех пор вся наша лаборатория не перестает удивляться.

Сейчас мы встали перед проблемой. Как-то утром один из наших сотрудников, занимаясь от нечего делать складыванием гексагексафлексагона, не заметил, как кончик его галстука попал внутрь этой игрушки. При каждом последующем перегибании галстук несчастного все больше и больше втягивался внутрь флексагона. После шестого перегибания исчез сам сотрудник.

Разумеется, мы тут оке начали лихорадочно перегибать флексагон, но так и не обнаружили никаких следов нашего товарища, зато мы нашли шестнадцатую поверхность гексагексафлексагона.

Возникает вопрос: должна ли вдова исчезнувшего сотрудника получить компенсацию за все время его отсутствия или же мы можем с полным основанием сразу считать его умершим? Ждем вашего совета.

НЕЙЛ АПТЕГРОУВ

Лаборатории Аллена В. Дюмона

Клифтон, штат Нью-Джерси

Письмо об исчезновении внутри гексагексафлексагона сотрудника Лабораторий Аллена В. Дюмона, напечатанное в мартовском выпуске вашего журнала, помогло нам решить одну загадку.

Однажды, занимаясь на досуге складыванием гексагексафлексагона самой последней модели, мы заметили, что из него торчит кусочек какой-то пестрой материи. При последующих перегибаниях флексагона из него показался незнакомец, жующий резинку.

К сожалению, он был очень слаб и из-за частичной потери памяти не мог объяснить нам, каким образом оказался внутри флексагона. Наша национальная диета из овсянки, хэггиса [6] и виски поправила его здоровье. Он стал всеобщим любимцем и откликается на имя Экклз.

Нас интересует, нужно ли нам вернуть его и если да, то каким способом? К сожалению, Экклза бросает в дрожь при одном лишь виде гексагексафлексагона, и он решительно отказывается «складываться».

РОБЕРТ М. ХИЛЛ

Королевский колледж науки и техники

Глазго, Шотландия

Глава 2. ФОКУСЫ С МАТРИЦАМИ

Магические квадраты занимают воображение математиков уже более двух тысячелетий. В традиционном магическом квадрате суммы чисел в каждом столбце, каждом ряду и по каждой диагонали одинаковы. Совершенно иной тип магического квадрата изображен на рис. 8.

Рис. 8

На первый взгляд может показаться, что он составлен без всякой системы и числа в нем расположены случайным образом.

Тем не менее этот квадрат обладает магическим свойством, вызывающим удивление не только у человека, далекого от науки, но и у профессионала-математика.

Это свойство лучше всего демонстрировать с помощью пяти монет и 20 бумажных фишек. Попросите кого-нибудь выбрать любое из чисел, вписанных в клетки квадрата. Положите на это число монету и закройте фишками все остальные числа, стоящие в одной строке и одном ряду с выбранным.

Попросите теперь того же человека выбрать любое из чисел, вписанных в незакрытые еще клетки, положите на выбранное число другую монету, а числа, стоящие в той же строке и в том же столбце, что и выбранное во второй раз число, снова закройте фишками. Повторив эту процедуру еще два раза, вы обнаружите, что незакрытой осталась лишь одна клетка. Положите на эту клетку пятую монету.

Если теперь вычислить сумму чисел, накрытых монетами (напомним, что на первый взгляд числа кажутся выбранными наудачу), то она будет равна 57. Это не случайно: сколько бы вы ни повторяли эксперимент, сумма всегда будет одной и той же.

Если вы любите решать математические головоломки, то можете остановиться на этом месте, чтобы попытаться самостоятельно раскрыть секрет удивительного квадрата.

Этот фокус, как и многие другие, после объяснения оказывается до смешного простым. Квадрат представляет собой не что иное, как самую обычную таблицу сложения, правда, составленную весьма замысловатым образом. Строится такая таблица с помощью двух наборов чисел: 12, 1, 4, 18, 0 и 7, 0, 4, 9, 2. Сумма всех этих чисел равна 57. Написав числа первого набора над верхней строкой квадрата, а числа второго набора слева от самого левого столбца, вы сразу же поймете, как получаются числа в клетках квадрата (рис. 9).

Рис. 9

Так, число в левом верхнем углу (стоящее на пересечении первой строки и первого столбца) равно сумме чисел 12 и 7. Точно так же получаются и все остальные числа: для того чтобы узнать, какое число следует вписать в ту или иную клетку, нужно просто вычислить сумму чисел, стоящих у той строки и того столбца, на пересечении которых находится интересующая нас клетка.

Совершенно аналогичным образом можно построить магический квадрат любого размера с любыми числами. Сколько клеток в квадрате и какие числа выбраны для его построения, никакой роли не играет. Числа в исходных наборах могут быть положительными или отрицательными, целыми или дробными, рациональными или иррациональными. Получившаяся таблица всегда будет обладать волшебным свойством: проделав описанную выше процедуру с монетами и фишками, вы всегда получите сумму чисел, входящих в оба исходных набора. В частности, в рассмотренном нами случае можно было взять любые восемь чисел, дающих в сумме 57.

Теперь уже нетрудно понять основную идею фокуса. Число, стоящее в любой клетке квадрата, равно сумме каких-то двух чисел в исходных наборах. Положив монету на выбранное число, вы тем самым как бы вычеркиваете эти два числа. Каждая новая монета кладется на пересечение другой строки с другим столбцом, поэтому пяти монетам соответствует сумма пяти пар выбранных нами исходных чисел, которая, разумеется, равна сумме всех десяти исходных чисел.

Один из наиболее простых способов построить таблицу сложения с помощью квадратной матрицы заключается в следующем. Впишем в левый верхний угол 1 и будем продолжать нумерацию клеток слева направо последовательными целыми положительными числами. Заполненную матрицу 4×4 можно рассматривать как таблицу сложения для двух наборов чисел: 1, 2, 3, 4 и 0, 4, 8, 12 (рис. 10).

Рис. 10

Сумма чисел, оказавшихся под монетками, в такой матрице всегда будет равна 34.

Получающаяся сумма, разумеется, зависит от размеров квадрата. Если число клеток, умещающихся вдоль стороны квадрата, обозначить через n, то сумма будет равна —

Квадраты с нечетным n дают сумму, равную произведению n и числа, стоящего в центральной клетке. Если нумерацию клеток начать с числа а, большего 1, и продолжать по порядку, то сумма окажется равной

Интересно заметить, что точно такой же будет сумма чисел в любом столбце и в любой строке традиционного магического квадрата, составленного из тех же числовых элементов.

С помощью второй формулы легко найти, каким должно быть число в левом верхнем углу матрицы любых размеров, чтобы она давала наперед заданную сумму. Огромное впечатление производит следующий фокус, который можно показать экспромтом.

Попросив кого-нибудь назвать любое число, большее 30 (это позволит избежать отрицательных чисел), вы тут же чертите матрицу 4×4, которая будет давать сумму, равную только что указанному числу!

(Для быстроты, вместо того чтобы закрывать числа монетками, можно обводить их кружками, а строки и столбцы, на пересечении которых стоят выбранные числа, вычеркивать.)

Чтобы продемонстрировать этот фокус, вам придется проделать единственную выкладку (ее нетрудно произвести в уме): вычесть 30 из названного числа, а разность разделить на 4. Пусть, например, названо число 43. Вычитая 30, вы получаете 13. Разделив его на 4, находите число 3 1/4 . Вписав 3 1/4 в левый верхний угол матрицы 4 х 4 и продолжив далее по порядку 4 1/4 , 5 1/4 и т. д., вы получите магический квадрат с суммой, равной 43.

Чтобы еще больше запутать зрителя, числа в квадрате следует переставить. Например, первое число 3 1/4 можно вписать в клетку, стоящую в третьей строке (рис. 11),

Рис. 11

а три следующих числа 4 1/4 , 5 1/4 и 6 1/4 ) расположить в той же строке, но в произвольном порядке.

Следующие четыре числа можно расположить в любой строке, но в том же порядке, в каком вы вписывали первые четыре числа. То же самое нужно проделать и с двумя оставшимися четверками чисел. В результате вы получите что-нибудь вроде квадрата, изображенного на рис. 12.

Рис. 12

Если вы не желаете иметь дело с дробными числами, но прежнему хотите получить сумму, равную 43, то дробь 1/4 у всех чисел можно отбросить, а к числам, стоящим в верхней строке, прибавить по единице (в результате чего в верхней строке окажутся числа 16, 17, 18 и 19). Точно так же, если бы дробная часть первого числа была равна 2/4, к числам, стоящим в верхней строке, нужно было бы прибавлять 2, а если бы дробная часть оказалась равной 3/4, -то 3.

Перестановка строк и столбцов не меняет магических свойств квадрата, но делает матрицу более загадочной, чем она есть на самом деле.

Фокус можно показывать и с таблицей умножения. В этом случае выбранные числа нужно не складывать, а умножать. Полученное произведение всегда равно произведению чисел, с помощью которых построена таблица.

Мне не удалось выяснить, кому первому пришла в голову мысль использовать эти забавные свойства таблиц сложения и умножения для фокуса. Основанный на этом принципе фокус с нумерованными картами описан в книге Мориса Крайчика. [7] Начиная с 1942 года было предложено несколько вариаций на ту же тему. Так, М. Стоувер заметил, что если на странице календаря обвести квадрат из 16 клеток, то получится таблица сложения, дающая сумму, которая вдвое превышает сумму двух чисел, стоящих на противоположных концах любой диагонали.

Широкие возможности открывает использование игральных карт. Например, можно ли так расположить карты в колоде, чтобы, сняв любую часть колоды и выложив содержащиеся в ней карты в виде квадрата, вы всегда получили одно и то же число? Этот принцип почти не исследован, и здесь предстоит еще открыть много интересного.

Новый вариант магического квадрата разработал С. Джеймс.

Этот вариант позволяет «внушать» аудитории любое слово по вашему желанию. Допустим, вы задумали слово «Джеймс». Взяв 36 карточек с нужными вам буквами, вы раскладываете их в форме квадрата следующим образом:

(карточки повернуты обратной стороной вверх, и буквы зрителям не видны).

Попросив кого-нибудь выбрать одну из карточек, вы откладываете ее в сторону, не переворачивая. Остальные карточки, находившиеся в одном столбце и одной строке с выбранной, вы откладываете в другую сторону (они вам больше не понадобятся). Эта процедура повторяется еще четыре раза, после чего единственную оставшуюся карточку вы добавляете к уже отложенным. Перевернув отобранные карточки лицевой стороной вверх, вы показываете, что из них можно составить слово «Джеймс». Способ отбора гарантирует, что среди отложенных карт не будет лишних.

Один из читателей сообщил нам, что ему удалось найти еще одно неожиданное применение магических квадратов: он рисовал их на поздравительных открытках, которые посылал своим друзьям-математикам в день их рождения. Следуя содержавшейся в открытке инструкции, адресат складывал выбранные им числа и к немалому своему удивлению получал собственный возраст.

Глава 3. ДЕВЯТЬ ЗАДАЧ

1. Путешествие по замкнутому маршруту. Многим читателям, по-видимому, известна старая головоломка: «Путешественник проходит один километр на юг, поворачивает, проходит один километр на восток, еще раз поворачивает, проходит один километр на север и оказывается в том самом месте, откуда вышел. Здесь он ловким выстрелом убивает медведя. Спрашивается, какого цвета шкура убитого медведя?»

Избитый ответ «белого» основан на неявном предположении, что исходной и конечной точкой замкнутого маршрута непременно должен быть Северный полюс. Не так давно было сделано открытие, что Северный полюс — отнюдь не единственная точка, удовлетворяющая всем условиям этой задачи!

Можете ли вы указать еще какую-нибудь точку земного шара, из которой можно было бы пройти один километр на юг, один километр на восток, один километр на север и снова оказаться в самом начале пути?

2. Покер. Двое играют в покер по следующим необычным правилам. Колоду из 52 карт они раскладывают на столе так, что могут видеть масти и значения всех карт. Первый игрок выбирает любые пять карт, второй делает то же самое, но его выбор ограничен лишь теми картами, которые остались лежать на столе. После этого первый игрок может либо оставить у себя на руках прежние пять карт, либо взять со стола новые карты (не больше пяти) и, выбрав из всех оказавшихся у него на руках карт любые пять, остальные отложить в сторону. Второй игрок вправе поступать точно таким же образом. Выигрывает тот, кто сумеет набрать пятерку карт с наибольшим числом очков. Все масти считаются одинаковыми, то есть флеши [8] разной масти различаются по очкам лишь в том случае, если они состоят из разных карт. Через несколько партий игроки замечают, что первый игрок всегда выигрывает, если он правильно сделает свой первый ход.

Какие пять карт должен выбрать первый игрок в начале игры?

3. Изуродованная шахматная доска. Для этой задачи нам потребуются шахматная доска и 32 кости домино. Размер каждой кости должен быть таким, чтобы она закрывала ровно две клетки доски, тогда 32 костями можно покрыть все 64 клетки.

Предположим теперь, что две угловые клетки, расположенные на концах «белой» диагонали (рис. 13), выпилены и одной кости домино нет.

Рис. 13 Шахматная доска с выпиленными углами.

Можно ли так расположить оставшиеся кости (их 31), чтобы они полностью покрыли все 62 клетки изуродованной шахматной доски? Если можно, то как? Если нельзя, то докажите, что это действительно невозможно.

4. На распутье. То, о чем мы сейчас расскажем, представляет собой новый вариант давно известного типа логических головоломок. Некий логик решил провести свой отпуск в путешествии по южным морям. Однажды он оказался на острове, который, как водится в задачах этого рода, населяли племя лжецов и племя правдивых туземцев. Члены первого племени всегда лгали, члены второго — всегда говорили только правду. Путешественник дошел до места, где дорога раздваивалась, и вынужден был спросить у оказавшегося поблизости туземца, какая из двух дорог ведет в деревню. Узнать, кем был встреченный туземец—лжецом или правдивым человеком, — путешественник не мог. Все же, поразмыслив, логик задал ему один-единственный вопрос и, получив ответ, узнал, по какой дороге следует идти. Какой вопрос задал путешественник?

5. Перепутанные таблички. Представьте себе, что у вас есть три коробки. В одной лежат два черных шара, во второй — два белых и в третьей — один черный шар и один белый. На коробках в соответствии с их содержимым были надписи ЧЧ, ЧБ и ББ, но кто-то их перепутал, и теперь на каждой коробке стоит надпись, не соответствующая содержимому. Чтобы узнать, какие шары лежат в каждой из трех коробок, разрешается вынимать по одному шару из коробки и, не заглядывая внутрь, возвращать его обратно. Какое минимальное число шаров нужно вынуть, чтобы с уверенностью определить содержимое всех коробок?

6. В Бронкс или Бруклин? Один молодой человек живет в Манхэттене возле станции метро. У него есть две знакомые девушки. Одна из них живет в Бруклине, вторая — в Бронксе. Когда он едет к девушке из Бруклина, то садится в поезд, подходящий к платформе со стороны центра города. Когда же едет к девушке из Бронкса, то садится в поезд, идущий в центр. Поскольку обе девушки нравятся ему одинаково, он просто садится в тот поезд, который приходит первым. Таким образом, в выборе, куда ехать, он полагается на случай. Молодой человек приходит на станцию каждую субботу в разное время. И в Бруклин и в Бронкс поезда ходят с одинаковым интервалом в 10 минут. Тем не менее по каким-то непонятным причинам большую часть времени он проводит с девушкой из Бруклина; в среднем из каждых десяти поездок девять приходятся на Бруклин. Попробуйте догадаться, почему у Бруклина такой огромный перевес.

7. Распиливание куба. Один плотник решил распилить кубик размером 3 х 3 х 3 см на 27 кубиков с ребром в 1 см. Это делается очень просто: надо распилить куб по шести плоскостям, не разнимая его при этом на куски (рис. 14).

Рис. 14 Распиливание куба.

Можно ли уменьшить число распилов, если после каждого из них складывать отпиленные части по-новому?

8. Ранний пассажир. Один человек, имеющий сезонный билет, привык каждый вечер приезжать на станцию ровно в пять часов. Его жена всегда встречает этот поезд, чтобы увезти мужа домой на машине. Однажды этот человек приехал на свою станцию в 4 ч. Стояла хорошая погода, поэтому он не стал звонить домой и пошел пешком по той дороге, по которой обычно ездила его жена. Встретив по пути жену, он сел в машину, и супруги приехали домой на 10 мин раньше обычного. Предположим, что жена всегда ездит с одной и той же скоростью, обычно выезжая из дому точно в одно и то же время, чтобы успеть к пятичасовому поезду. Можно ли определить, сколько времени муж шел пешком, пока его не подобрала машина?

9. Фальшивые монеты. Огромный интерес вызывают задачи со взвешиванием монет или шаров. Вот одна удивительно простая задача этого типа. Имеется 10 кучек монет (рис. 15), по 10 монет в каждой.

Рис. 15 Обнаружение кучки фальшивых монет.

Одна из кучек целиком состоит из фальшивых монет, но какая именно — неизвестно. Известен лишь вес настоящей монеты, и, кроме того, установлено, что каждая фальшивая монета на один грамм тяжелее, чем нужно. Монеты можно взвешивать на пружинных весах. Какое минимальное число взвешиваний необходимо произвести, чтобы отыскать кучку, целиком состоящую из фальшивых монет?

1. Есть ли на глобусе какая-нибудь точка, кроме Северного полюса, выйдя из которой можно пройти один километр на юг, один километр на восток и один километр на север и оказаться на прежнем месте? Конечно, есть, и не одна, а бесконечное множество таких точек! Можно выйти из любой точки окружности, проведенной вокруг Южного полюса на расстоянии, чуть большем километра — примерно 1,16 км (1 + 1/2π). Расстояние должно быть «чуть больше», чтобы учесть кривизну Земли. Пройдя километр на юг, а затем километр на восток, вы опишете вокруг полюса полную окружность. Пройдя еще километр на север, вы окажетесь там, откуда вышли. Следовательно, исходной точкой вашего маршрута может быть бесконечное множество точек, заполняющих окружность, центр которой совпадает с Южным полюсом, а радиус примерно равен 1,16 км. Но это еще не все. Свой путь вы можете начинать и в точках окружностей меньшего радиуса, специально подобранного так, чтобы, идя на восток, вы описывали вокруг Южного полюса два, три и т. д. оборота.

2. Существует 88 наборов карт, обеспечивающих выигрыш первому игроку. Они делятся на две категории:

а) четыре десятки и любая пятая карта (всего 48 наборов);

б) три десятки и любая из следующих пяти пар, масть которых не совпадает с мастями выбранных десяток: туз — девятка, король — девятка, дама — девятка, валет — девятка, король — восьмерка, дама — восьмерка, дама — семерка, валет — семерка, валет — шестерка (всего 40 наборов).

На вторую категорию наборов мое внимание обратили Ч. Фостер и К. Пейперс. Я никогда не встречал эти пятерки карт в опубликованных ранее решениях.

3. Разместить 31 кость домино на доске, у которой вырезаны два угловых квадрата на противоположных концах диагонали, невозможно. Доказательство этого факта неожиданно просто. Две диагонально противоположные клетки должны быть одного цвета.

Поэтому, если их вырезать, клеток одного цвета на доске останется на две больше, чем другого. Каждая кость домино может прикрыть два квадрата разного цвета, поскольку только такие квадраты примыкают друг к другу. После того как 30 костей закроют 60 клеток доски, свободными останутся два квадрата одинакового цвета. Они не могут находиться рядом, и поэтому их нельзя прикрыть последней костью домино.

4. Потребуем, чтобы вопрос был таким, на который можно ответить только «да» или «нет». Тогда существует несколько решений, опирающихся на одну и ту же хитрость. Пусть, например, логик указал на одну из дорог и спросил туземца: «Если бы я вас спросил, ведет ли эта дорога в деревню, вы бы сказали «да»? В этом случае туземец вынужден сказать правду, даже если он лжец! Если дорога ведет в деревню, лжец должен ответить «нет», но из-за постановки вопроса он, говоря неправду, отвечает, что он бы сказал «да». Таким образом, логик может быть уверен, что дорога ведет в деревню, независимо от того, кто перед ним — лжец или правдивый человек. С другой стороны, если на самом деле дорога не ведет в деревню, лжец по тем же соображениям вынужден ответить «нет».

Вот еще один подобный вопрос: «Если бы я спросил туземца из другого племени, ведет ли эта дорога в деревню, ответил бы он «да»?» Во избежание неясности из-за «вопроса о вопросе», может быть, лучше поставить вопрос несколько иначе (эту формулировку предложил У. Хэггстром): «Правда ли, что из двух утверждений: «Вы лжец» и «Эта дорога ведет в деревню» — верно одно и только одно?» Ответ «да» означает, что дорога выбрана верно, а ответ «нет» — что идти следует по другой дороге, независимо от того, лжет ли туземец или говорит правду.

Д. Сиама и Дж. Маккарти обратили мое внимание на еще один забавный вариант этой задачи. «Предположим, — пишет Маккарти, — что логик в совершенстве владеет языком островитян, но не помнит, какое из двух слов («пиш» или «таш») означает «да», а какое «нет». Несмотря на свою забывчивость, он все же сможет определить, какая из двух дорог ведет в деревню. Он указывает на одну из дорог и говорит: «Если бы я спросил, ведет ли эта дорога в деревню, вы бы ответили словом «пиш»?» Если островитянин отвечает «пиш», логик может заключить, что выбранная им дорога действительно ведет в деревню, даже в том случае, если он не уверен ни в том, с кем разговаривает (с лжецом или с правдивым туземцем), ни в том, что означает слово «пиш» — «да» или «нет». Если же островитянин отвечает «таш», логик делает обратный вывод.»

Г. Янцен и некоторые другие читатели сообщили мне, что если ответ туземца не обязательно должен быть «да» или «нет», то существует вопрос, с помощью которого можно найти правильный путь независимо от того, сколько дорог на перекрестке. Логик просто должен указать на все дороги, в том числе и на ту, по которой он только что шел, и спросить: «Какая из этих дорог ведет в деревню?» Правдивый туземец покажет верную дорогу, а лжец укажет на все остальные. Логик мог бы также спросить: «Какие дороги не ведут в деревню?» В этом случае лжец должен был бы показать только правильную дорогу. Надо сказать, что обе ситуации несколько ненадежны. В первом случае лжец мог бы показать только одну неправильную дорогу, а во втором он мог бы указать несколько дорог. По сути своей эти ответы были ложью, но первый был бы еще самой великой ложью, какая только возможна, а во втором содержалась бы доля правды.

Вопрос о точном определении понятия «ложь» возникает даже в первых, двузначных решениях с «да» и «нет». Самое лучшее, что я могу сделать, — это привести целиком письмо, присланное в редакцию журнала Scientific American В. Кричтоном и Д. Лампиером.

Как ни печально, но приходится признать, что расцвет логики приводит к упадку искусства лжи и ныне даже лжецы вынуждены все в большей и большей мере прислушиваться к доводам разума. Выражая свое сожаление, мы имеем в виду условие и решение четвертой задачи из февральского номера Scientific American. Согласившись с предложенным там решением, мы вынуждены будем сделать вывод о том, будто лжеца, строго следующего традициям своего племени, всегда можно оставить в дураках. Такая ситуация неизбежно возникает всюду, где под ложью понимают беспрекословное выполнение правил, носящих довольно произвольный, ничем не обусловленный характер.

Задавая свой вопрос («Если бы я спросил, ведет ли эта дорога в деревню, ответили бы вы «да?»») и надеясь, что туземец распознает в нем как по форме, так и по содержанию составное логическое высказывание — импликацию — и сумеет разобраться в принимаемом этим высказыванием значении истинности, логик рассчитывает на известную изощренность туземца. Между тем, ничего не подозревающий туземец почти наверняка примет вопрос логика за странный способ изъяснения, связанный с изысканностью манер западных цивилизаций, и ответит на него, как на самый обычный вопрос «Эта дорога ведет в деревню?» С другой стороны, если логик с намерением подчеркнуть логический смысл вопроса пристально посмотрит на туземца, желаемая цель все же будет достигнута, хотя туземец и заподозрит, что его каким-то образом хотят надуть. Если он по праву зовется лжецом, то в свою очередь начнет контригру и оставит логика в неведении относительно того, какая же из дорог ведет к деревне. С этой последней точки зрения предложенное решение неполно. Если оке смысл термина «ложь» определить строго формально, то решение все равно нельзя считать удовлетворительным из-за его неоднозначности.

Исследование однозначных решений позволяет нам лучше понять природу лжи. В логике принято называть лжецом того, кто всегда говорит нечто, противоречащее истине. Неоднозначность такого определения станет очевидной, как только мы попытаемся предсказать ответ лжеца на составное высказывание типа: «Правда ли, что если эта дорога ведет в деревню, то вы лжец?» Сможет ли туземец правильно вычислить значения истинности обоих аргументов, чтобы с их помощью определить значение истинности всей функции и в своем ответе сообщить отрицание полученного результата?

Или же он займет более беспристрастную позицию и будет лгать не только другим людям, но и самому себе, подставляя при вычислении функции вместо аргументов их отрицания и сообщая отрицание вычисленного значения функции? Здесь необходимо различать просто лжеца, всегда говорящего неправду, и «честного» лжеца, постоянно изрекающего отрицание истины.

Вопрос «Правда ли, что если эта дорога ведет в поселок, то вы лжец?» может считаться решением только в том случае, если лжецы, о которых говорится в условии задачи, — «честные» лжецы. Честный лжец и честный «правдивец» должны оба ответить «да», если указанная дорога не ведет в деревню, и «нет» — в противном случае. Просто лжец ответит «нет» независимо от того, куда в действительности ведет дорога. Взяв в качестве вопроса вместо импликации эквивалентность, мы получим решение, пригодное как для просто лжецов, так и для честных лжецов. Вопрос при такой замене формулируется так: «Правда ли, что эта дорога ведет в деревню тогда и только тогда, когда вы лжец?» И лжец, и правдивый туземец ответят отрицательно, если указанная дорога ведет к деревне, и утвердительно, если она не ведет к ней.

Вряд ли можно надеяться, что какой-нибудь первобытный дикарь в совершенстве владеет алгеброй логики и может строго следовать правилам вычисления значений истинности булевых функций. С другой стороны, ни один хоть сколько-нибудь проницательный лжец не даст себя одурачить столь просто. Поэтому помимо двух уже названных категорий лжецов необходимо ввести в рассмотрение еще один их тип — лжеца, действующего с заранее обдуманным намерением, который всегда старается ввести того, кто с ним разговаривает, в заблуждение. Имея дело с таким противником, логик может в лучшем случае надеяться на то, что ему удастся максимально увеличить вероятность благоприятного исхода (то есть правильного выбора дороги). Ни один логический вопрос не может гарантировать успеха, ибо если лжец намеренно старается ввести своего собеседника в заблуждение, то, следуя своей тактике, он может обманывать его, нарушая при этом правила логики. В такой ситуации для логика важнее всего, чтобы избранная им тактика была психологически обоснованной. Такая линия поведения вполне допустима, поскольку, будучи примененной против «честного» лжеца и просто лжеца, она приносит еще больший эффект, чем в случае не столь легко поддающегося на удочку лжеца, намеренно вводящего собеседника в заблуждение.

Учитывая все сказанное, мы предлагаем в качестве наиболее общего следующий вопрос или его моральный эквивалент: «Известно ли вам, что в этой деревне пивом угощают бесплатно?» Правдивый туземец ответит «нет» и тотчас же отправится в деревню, а логик не спеша последует за ним.

Просто лжец и «честный» лжец ответят «нет» и также отправятся в деревню. Лжец, любящий вводить своих собеседников в заблуждение, будет исходить из предпосылки о том, что путешественник тоже любит морочить головы доверчивым слушателям, и изберет тактику в соответствии с этим предположением. Движимый двумя противоположными мотивами, лжец может попытаться убить двух зайцев, ответив, например, так: «Бр-р! Я терпеть не могу пива!» — и тут же побежать в деревню. Хорошего логика этим не проведешь. Достаточно предусмотрительный лжец, поразмыслив, поймет неубедительность такого ответа и, быть может, из любви к искусству решит пожертвовать своими интересами и пойдет по неправильной дороге. Лжец одержит победу по очкам, но зато логик сможет по праву отпраздновать моральную победу, ибо лжец наказан: его теперь гложет подозрение, что он упустил бесплатное пиво.

5. Узнать содержимое всех коробок можно, вынув всего лишь один шар. Ключ к решению кроется в том, что все таблички на коробках не соответствуют их содержимому и вы об этом знаете.

Предположим, что шар извлекается из коробки с надписью «ЧБ».

Пусть вынут черный шар. Тогда вам ясно, что второй шар также черный, иначе табличка была бы правильной. Но раз вы нашли коробку с двумя черными шарами, вы сразу же можете назвать содержимое коробки с этикеткой «ББ»: в ней не могут находиться два белых шара, иначе табличка соответствовала бы содержимому коробки; в ней не могут находиться и два черных шара, поскольку вы уже нашли коробку с двумя черными шарами; таким образом, в ней должны быть один черный и один белый шар. В третьей коробке, естественно, должны быть два белых шара. Аналогичным образом задача решается и в том случае, если шар, вынутый из коробки с надписью «ЧБ», оказался не черным, а белым.

6. Решение головоломки опирается на маленькую хитрость в расписании поездов. Оно составлено так, что поезд, следующий в Бронкс, всегда прибывает на минуту позже бруклинского, в то время как интервалы движения обоих поездов одинаковы — 10 минут.

Отсюда ясно, что поезд в Бронкс прибудет раньше бруклинского только в том случае, если молодой человек явится на вокзал в течение этого минутного интервала. В любое же другое время (то есть в течение девятиминутного интервала) бруклинский поезд будет прибывать первым. Поскольку молодой человек приходит в совершенно произвольные моменты времени, он с вероятностью 0,9 отправляется в Бруклин.

7. Разрезать куб менее чем шестью распилами нельзя. Это становится ясным, если вспомнить, что у куба шесть граней. Каждый распил означает проведение плоскости, то есть при каждом распиле появляется не более одной новой грани куба. Чтобы выпилить маленький кубик в самом центре большого куба (это единственный кубик, у которого вначале нет ни одной готовой грани), нужно провести шесть распилов. Эту задачу придумал Ф. Хоуторн.

Кубы размером 2х2х2 и ЗхЗхЗ — единственные в том смысле, что, как бы вы ни складывали их части, прежде чем произвести очередной распил (разумеется, если при этом каждая часть куба где-то распиливается), все равно, пока кубы не распадутся на единичные кубики, первый придется пилить три раза, а второй — шесть.

Для куба 4x4x4 понадобится провести девять распилов, если его части все время будут составлять куб. Переставляя их перед каждым распилом, можно уменьшить число последних до шести.

Складывая куски куба, нужно следить за тем, чтобы каждый из них распиливался как можно ближе к середине, тогда число распилов будет минимальным. В общем случае для куба n х n х n минимальное число распилов равно Зк, где к определяется неравенством

В общем виде эта задача была поставлена Л. Р. Фордом и Д. Р. Фулкерсоном. Однако она представляет собой лишь частный случай более общей задачи, опубликованной Л. Мозером, о минимальном числе распилов, которые необходимо произвести, чтобы разрезать прямоугольный параллелепипед размером а х b х с на единичные кубики.

Ю. Дж. Патцер и Р. В. Лоуэн в своей работе «Об оптимальном способе распиливания прямоугольного параллелепипеда на единичные кубы [9] пошли еще дальше. Они рассматривают n-мерные кирпичи с целыми сторонами, которые надо разделить минимальным числом плоских распилов на единичные гиперкубы. Авторы считают, что трехмерная задача «может найти применение в сыроваренной и сахарной промышленности».

8. Пассажир, приехавший необычно рано, шел пешком 55 мин, прежде чем его подобрала жена. Если они приехали домой на 10 мин раньше обычного, это значит, что жена выиграла 10 мин от времени своей обычной поездки на станцию и обратно или 5 мин от времени поездки на станцию. Следовательно, она встретила мужа за пять минут до того момента (пять часов), когда обычно сажала его в машину, то есть в 4 ч 55 мин. Он вышел в четыре часа, поэтому шел 55 мин. Скорость пешехода, скорость машины и расстояние от дома до станции для решения задачи не нужны. Если вы пытались подобрать эти величины, вам, наверное, показалось, что задача чересчур сложна.

Некоторые читатели заметили, что решение задачи намного упрощается, если нарисовать график движения (рис. 16).

Рис. 16 График к задаче о раннем пассажире.

По горизонтальной оси отложено время, по вертикальной — расстояние.

Из графика видно, что жена могла выехать из дому самое большее на 10 мин раньше, чем нужно, чтобы вовремя попасть к поезду.

Нижний предел продолжительности прогулки мужа (50 мин) достигается лишь тогда, когда жена выезжает из дому ровно на десять минут раньше обычного и либо сама едет с бесконечно большой скоростью (в этом случае муж прибывает домой в тот же момент, в какой она выезжает из дому), либо муж идет с бесконечно малой скоростью (в этом случае жена встречает его у самого вокзала, откуда он вышел за 50 мин до встречи, поскольку за эти 50 мин муж так и не сдвинулся с места). «Ни одно из этих предположений, — пишет профессор Д. У. Вайзер, приславший одно из лучших решений задачи с подобным анализом, — не следует считать ошибочным: ни мастерское вождение машины женой, ни странное поведение мужа, который битый час не трогается с места, поровнявшись с пивной».

9. Кучку фальшивых монет можно найти с помощью одного единственного взвешивания. Нужно взять одну монету из первой кучки, две из второй, три — из третьей и т. д. и, наконец, все 10 монет из десятой кучки. Затем все отобранные монеты взвешиваются все вместе на пружинных весах. Лишний вес, выраженный в граммах, будет соответствовать номеру фальшивой кучки. Если, например, отобранные монеты весят на семь граммов больше, чем они должны весить, то фальшивой должна быть седьмая кучка, откуда вы взяли семь монет (каждая из которых на 1 г тяжелее настоящей). Даже при наличии одиннадцатой кучки из десяти монет этот метод все еще пригоден: отсутствие излишка в весе говорит о том, что кучка, из которой вы не взяли ни одной монеты, — фальшивая.

Глава 4. КРЕСТИКИ И НОЛИКИ, ИЛИ ТИК-ТАК-ТОУ

Кто из нас в детстве не играл в крестики и нолики! Об этом древнем состязании на сообразительность писал еще Уордсворт: