Подведение под знак дифференциала
При решении некоторых типов интегралов выполняется преобразование, как говорят внесение под знак дифференциала. Это делается, чтобы получить интеграл табличного вида и легко его взять. Для этого применяется формула: $$ f'(x) dx = d( f(x) ) $$
Хочется отметить такой важный нюанс, над которым задумываются студенты. Чем же отличается этот метод от способа замены переменной (подстановки)? Это то же самое, только в записях выглядит по-разному. И то и другое верно.
Формула
Если в подынтегральной функции прослеживается произведение двух функций, одна из которых является дифференциалом другой, тогда внесите под знак дифференциала нужную функцию. Выглядит это следующим образом:
$$ \int f(\varphi(x)) \varphi'(x) dx = \int f(\varphi(x)) d(\varphi(x))=\int f(u) du $$ $$ u=\varphi(x) $$
Подведение основных функций
Для того, чтобы успешно использовать такой способ решения, необходимо знать таблицы производных и интегрирования. Из них вытекают следующие формулы:
| $ dx = d(x+c), c=const $ | $ -\sin x dx=d(\cos x) $ |
| $ dx=\frac d(ax) $ | $ \cos x dx = d(\sin x) $ |
| $ xdx=\frac d(x^2+a) $ | $ \frac = d(\ln x) $ |
| $ -\frac= d(\frac) $ | $ \frac = d(tg x) $ |
| $$ \int f(kx+b)dx = \frac \int f(kx+b)d(kx+b) = \frac F(kx+b) + C $$ | |
Примеры решений
В данном примере можно занести под знак дифференциала любую из предложенных функций, хоть синус, хоть косинус. Для того, чтобы не путаться со сменой знаков удобнее занести $ \соs x $. Используя формулы имеем:
$$ \int \sin x \cos xdx = \int \sin x d(\sin x) = \frac \sin^2 x + C $$
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
В данном примере нужно внести под знак дифференциала $ x+5 $. Используя формулы внесения получаем:
В таких случаях числитель подынтегральной функции является дифференциалом знаменателя. Убедиться в этом можно взяв производную знаменателя: $ d(x^2+1) = 2x dx $.
После дифференцирования в правой части появляется наш числитель с множителем два. Из формул внесений следует, что от двойки нужно избавиться путем домножения интеграла на $ \frac $. Пробуем:
Так как котангенс интеграл не табличный, то его попробуем решить методом подведения под знак дифференциала. Но прежде, катангенс нужно выразить через отношения косинуса с синусом. Известно, что $ ctg x = \frac $
Получаем интеграл $ \int ctg x dx = \int \frac $. Под знак дифференциала перенесем косинус:
В примерах этого типа внесение нужно для квадрата икса, чтобы остался только косинус под интегралом. Для этого нужно понимать, что: $$ x^2 dx = \frac d(x^3) $$ Подставив эту «замену» в исходный интеграл легко найдем ответ для задачи:
$$ \int x^2 \cos x^3dx = \frac\int \cos x^3 d(x^3) = \frac \sin x^3 + C $$
$$ \int x^2 \cos x^3 dx = \frac \sin x^3 + C $$
Итак, в статье разобрали как решаются некоторые виды интегралов методом занесения под знак дифференциала. Вспомнили дифференциалы часто распространенных элементарных функций. Если не получается или не хватает времени решить задачи контрольных работ самостоятельно, то мы окажем Вам свою помощь в кратчайшие сроки. Достаточно заполнить форму заказа и мы свяжемся с Вами.
Нужно подробное решение своей задачи?
Внесение под знак дифференциала
При сведении заданного интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала как операция «подведения под знак дифференциала». При этом используется формула:
![\[{f}'\left( x \right)dx=d\left( f\left( x \right) \right)\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-41c3e241d76976a3e840d5e8d290c83d_l3.png)
Вообще говоря, внесение (подведение) под знак дифференциала и замена переменной (метод подстановки) – это один и тот же метод нахождения неопределенного интеграла; отличие состоит только в оформлении.
Суть метода
Итак, внесение под знак интеграла опирается на следующее правило интегрирования. Если в произведении функции, стоящей под знаком интеграла, и дифференциала можно увидеть произведение другой функции и дифференциала от нее, то применяем подведение под знак дифференциала, то есть если
![\[\begin{cases} \int{f\left( \phi \left( x \right) \right)\cdot {\phi }'\left( x \right)dx} \\ u=\phi \left( x \right) \\ \end{cases} \right.\Rightarrow \int{f\left( \phi \left( x \right) \right)\cdot {\phi }'\left( x \right)dx}=\int{f\left( u \right)du}\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c9c0ead11370e819c2f75beb68efd1f7_l3.png)
При внесении под знак дифференциала необходимо иметь в виду простейшие преобразования дифференциала:
Очень часто метод внесения под знак дифференциала используют для нахождения интегралов вида
![\[\int{f\left( kx+b \right)dx}=\frac{1}{k}\int{f\left( kx+b \right)d\left( kx+b \right)}=\frac{1}{k}F\left( kx+b \right)+C\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a2f21a31280925d9090e7d6b2447ccc2_l3.png)
Поэтому имеют место следующие формулы для неопределенных интегралов:
Примеры внесения под знак дифференциала
![\[\int{\frac{dx}{x-4}}=\int{\frac{d\left( x-4 \right)}{x-4}}=\ln \left| x-4 \right|+C\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-68c40649867f16ea4e579fb8e8d9d626_l3.png)
| Задание | Решить интеграл |
| Решение | Внесем основание степени под дифференциал: |
Интегрирование подстановкой (внесение под знак дифференциала). Вторая часть.
Продолжим решение задач на интегрирование подстановкой, начатое в первой части. Формулы, которые использовались в первой части, будут использоваться и тут:
\[ \begin
\[ \begin
\[ \begin
Задача №5
Условие
Решение
Такой формулы в таблице интегралов точно нет. Придётся подогнать данный интеграл под одну из табличных формул. Для этого имеет смысл вспомнить таблицу производных. В частности, равенство \((\ln x)’=\frac\). Применим формулу №1, подставив в неё \(y=\ln x\) :
\[ d(\ln x)=(\ln x)’ dx=\frac<1>dx=\frac. \]
Так как \(\frac=d(\ln x)\), то можно заменить в интеграле \(\int \frac
\[ \int \frac
Зачем мы вносили под дифференциал \(\ln x\) ? Что нам дала такая операция? Она дала нам следующее: выражение вод дифференциалом, т.е. \(\ln x\), стало ближе по форме к выражению в скобках знаменателя, т.е. \(4\ln x + 7\). Сделаем так, чтобы выражение под дифференциалом не отличалось от того, что стоит в скобках. Чего для этого не хватает? Во-первых, не хватает множителя \(4\), а во-вторых, слагаемого \(7\). Исправим это «упущение», домножив выражение под дифференциалом на \(4\). Согласно формуле №3 получим:
\[ d(\ln x)=\frac<1>\cdot d(4\ln x). \]
Чтобы прибавить \(7\) под дифференциалом, применим формулу №2:
\[ \frac<1>\cdot d(4\ln x)=\frac<1>\cdot d(4\ln x+7). \]
Итак, \(d(\ln x)=\frac\cdot d(4\ln x+7)\). Подставим в интеграл \(\int \frac
\[ \int \frac
Дальнейшее решение уже несложно. Осуществив подстановку \(u=4 \ln x+7\), мы получим табличный интеграл \(\int \frac\). Так как \(\frac=u^\), то для нахождения полученного интеграла применима формула №1 из таблицы интегралов:
Если пропустить все пояснения и промежуточные действия, то решение будет выглядеть так:
Проверка пройдена успешно, производная результата равна подынтегральной функции.
Полагаю, здесь может возникнуть вопрос, поэтому попробую предугадать его. Как мы догадались, что под дифференциал нужно вносить именно \(\ln x\) ? Почему не пошли каким-то иным путём или не стали вносить иную функцию?
Ответ тут прост, но неутешителен. Дело в том, что такая догадка возникла исходя из оценки вида самого интеграла. Т.е., говоря иными словами, после того, как у вас появится некоторый опыт (хотя бы 20-30 самостоятельно решенных интегралов), вы тоже сможете заметить нужную подстановку. Для компьютера есть алгоритм Риша, а для человека есть только один способ – нарешать как можно больше примеров, чтобы начать «видеть» подобные подстановки.
Задача №6
Условие
Решение
Подгоним данный интеграл под одну из табличных формул. Внесём \(e^>\) под дифференциал. Для этого воспользуемся формулой №1, подставив в неё \(y=e^>\) :
Умножив на \(2\) обе части полученного равенства \(d \left( e^> \right)=\frac
\[ \int \frac>dx>=\int \frac> \right)>=2\cdot\int \frac< d \left( e^> \right)> \] \right)>=2\cdot\int \frac< d \left( e^> \right)><\left( e^> \right)^2+49> \]Полагаю, что теперь ясно, зачем мы вносили под дифференциал выражение \(e^>\). Теперь сделаем подстановку \(u=e^>\) и получим табличный интеграл №11:
Проверка, при необходимости, делается так же, как и в предыдущей задаче. Если пропустить все пояснения, решение примет вид:
Задача №7
Условие
Решение
Внесем под дифференциал выражение \(9x^2+5\). В предыдущих задачах такое внесение осуществлялось постепенно, здесь попробуем внести всё выражение сразу. Для начала найдём \(d(9x^2+5)\) (используем формулу №1):
\[ d(9x^2+5)=(9x^2+5)’dx=18xdx \]
Так как \(d(9x^2+5)=18xdx\), то \(xdx=\frac\cdot d(9x^2+5)\). Подставляя в \(\int x\sqrt[4]\;dx\) выражение \(\frac\cdot d(9x^2+5)\) вместо \(xdx\), получим:
\[ \int x\sqrt[4]\;dx=\int \sqrt[4]\cdot\fracd(9x^2+5)=\frac\cdot\int \sqrt[4]d(9x^2+5) \]
Дальнейшее решение аналогично предыдущим задачам. Делая подстановку \(u=9x^2+5\) и применяя формулу №1 из таблицы интегралов, будем иметь:
Задача №8
Условие
Решение
Внесем под дифференциал выражение \(3+5\ctg x\). В предыдущих задачах такое внесение осуществлялось постепенно, здесь попробуем внести всё выражение сразу. Для начала найдём \(d(3+5\ctg x)\) (используем формулу №1):
\[ d(3+5\ctg x)=(3+5\ctg x)’dx=-\frac<5>dx \]
Так как \(d(3+5\ctg x)=-\fracdx\), то \(\frac=-\frac\cdot d(3+5\ctg x)\). Подставляя в \(\int \frac>dx\) выражение \(-\frac\cdot d(3+5ctg x)\) вместо \(\frac\) и осуществляя замену \(u=3+5\ctg x\), будем иметь:
Задача №9
Условие
Решение
Для интегралов от тригонометрических функций есть специальные методы, но иногда можно обойтись и без них. Например, в данной задаче проще разложить заданный интеграл на сумму интегралов. Чтобы это осуществить, вспомним формулу \(\sin^2x=1-\cos^2x\) :
\[ \frac=\frac<\left(1-\cos^2x\right)^2>=\frac= \frac-\frac+\frac=\frac-2+\cos^2x. \]
Таким образом мы упростили подынтегральное выражение. Остальнось лишь учесть, что \(\cos^2x=\frac+\frac\cos 2x\) :
\[ \frac<1>-2+\cos^2x=\frac<1>-2+\frac<1>+\frac<1>\cos 2x=-\frac+\frac<1>+\frac<1>\cos 2x \]
Возвращаясь к заданному интегралу, получим:
И, наконец, решим задачу № 1779 из сборника задач Бермана. В этой задаче интеграл сначала нужно разбить на два, а затем уже применять внесение под знак дифференциала. Я бы советовал решить этот пример самостоятельно, лишь сверяясь с решением на сайте.
2. Интегрирование внесением под дифференциал
Табличные формулы справедливы и применимы НЕ ТОЛЬКО для переменной x , но и для любого сложного выражения, ЛИШЬ БЫ АРГУМЕНТ ФУНКЦИИ И ВЫРАЖЕНИЕ ПОД ЗНАКОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛА БЫЛИ ОДИНАКОВЫМИ .
Очень часто метод внесения под знак дифференциала используют для нахождения интегралов вида
константа при x , F – первообразная функции f . Поэтому имеют место следующие формулы для неопределенных интегралов:
Найти интеграл Внесем косинус под знак дифференциала
Найти неопределенный интеграл Разложим тангенс, как отношение синуса и косинуса , затем внесем синус под знак дифференциала
Вычислить неопределенный интеграл 
Внесем под знак интеграла 
так, чтобы полученный многочлен под знаком интеграла совпадал со знаменателем
В результате, получили табличный интеграл , который в свою очередь равен
Вычислить неопределенный интеграл
Так как , то числитель можно внести под знак интеграла так, чтобы под дифференциалом образовался многочлен точно такой же, что и в знаменателе:
Полученный интеграл можно вычислить, используя табличный интеграл
Тогда искомый интеграл равен
Вычислить неопределенный интеграл 
Используя формулу производной экспоненциальной функции внесем 
под знак дифференциала
тогда в результате получим
Вычислить неопределенный интеграл 
Используя формулу производной косинуса внесем 
под знак дифференциала, а косинус поднимем в числитель:
Вычислить неопределенный интеграл 
Преобразуем подынтегральную функцию, используя равенство 
, в результате получим:
Вычислить неопределенный интеграл Используя формулу квадрата разности выделим в знаменателе подынтегрального выражения полный квадрат
Внесем под знак дифференциала :
Далее, используя табличный интеграл
Вычислить неопределенный интеграл
Так как , то выражение перед косинусом можно внести под знак дифференциала
тогда будем иметь:
Вычислить неопределенный интеграл 
Используя формулу производной косинуса внесем 
под знак дифференциала
Далее, используя табличный интеграл для показательной функции, получим